《机器人动力学与控制》第九章——动力学

9.4 欧拉-拉格朗日方程法应用举例（上）

本节我们用前面学到的欧拉-拉格朗日方程分析法来分析四种不同结构的机械臂，并尝试着推导对应的动力学方程。这些例子由简入深，我们先从一个双连杆机械臂开始，最后到一个具有五个连杆的机械臂。这里建议大家自己跟着过程推一波公式，虽然不一定能让你对动力学有更深层次的理解（步骤都是死的），但起码可以通过推导2轴机器人去感受6轴机器人动力学公式的恐怖。

9.4.1. 双连杆笛卡尔机械臂

考虑下图具有两个连杆和两个移动关节的机械臂：
在这里插入图片描述
分别用

m_1

$m_{1}$ 和

m_2

$m_{2}$ 来表示连杆1和连杆2的质量，用

q_1

$q_{1}$ 和

q_2

$q_{2}$ 来表示两个关节的位移量，用

f_1

$f_{1}$ 和

f_2

$f_{2}$ 来表示作用在每个关节的力。因为没有转动关节，因此我们不需要考虑转动动能与转动势能。

动能

由于

q_1

$q_{1}$ 和

q_2

$q_{2}$ 可以用来表达这个系统的generalized coordinate(这句话直译，具体含义没搞懂)，动能可以用如下公式表达：
在这里插入图片描述
势能仅仅与q1和q2有关，我们用9.3节学到的公式来推导动力学方程。两个关节只有位移没有旋转，所以角速度Jacobian系数为零，该系统的动能只与移动关节的位移速度有关。

通过雅各比矩阵的学习可知连杆1重心的速度等于：
在这里插入图片描述
其中

这里省略了建立坐标系，推导雅各比矩阵的过程，请自行推导。类似地，可以得到：

因此该系统的全部动能可以表达为

势能

下面就需要推导势能了，根据机器人的结构可以发现，m1和m2的势能都只与q1有关，很容易就能得到该结构的总势能
在这里插入图片描述

书写动力学方程

有了动能和势能就可以通过写动力学方程了。这里有两种方法，一个是根据定义先写出拉格朗日系数
在这里插入图片描述
然后使用力的计算公式

第二种方式是用上一节我们刚刚学习的结论，直接套用公式

可以发现 D(q) 已知，由于dij与q无关，因此Christoffel项都是0。另外D的非对角项都为0，所以动力学公式变为

由于

所以最终动力学公式为
在这里插入图片描述

9.4.2.平面肘部机械手

现在我们来看另一个例子，如下图所示，该机器人有且仅有两个旋转关节。
在这里插入图片描述
坐标系都已经在图里面帮你们建好了，请自行验证。Ii代表连杆i关于一根过其质心指向朝外的轴的惯量矩。
我们继续使用雅各比矩阵的知识求解速度先，雅各比矩阵推导规则如下

首先

接着

同理

因此动能里面平动部分的能量为
在这里插入图片描述
现在我们来处理转动部分能量，根据该机械结构可以方便的得到

根据雅各布矩阵得到的也是一样的结果
接着带入动能表达式得到

把平动部分能量和转动部分能量相加得到

因此

接着

注意，这里面的计算还是比较烦的，我这边省略了不少中间过程直接把结果贴出来。
接下来研究机械臂的势能，势能只与q的大小有关，因此
在这里插入图片描述
所以

最后我们带入动力学方程得到

这里面的C项为

请务必自己推一波，多准备点纸。