(1)二维高斯去曲面拟合推导
一个二维高斯方程可以写成如下形式：
其中，G为高斯分布的幅值，,为x,y方向上的标准差，对式(1)两边取对数，并展开平方项，整理后为：
假如参与拟合的数据点有N个，则将这个N个数据点写成矩阵的形式为：A = B C，
其中：
A为N*1的向量，其元素为：
B为N*5的矩阵：
C为一个由高斯参数组成的向量：
(2)求解二维高斯曲线拟合
N个数据点误差的列向量为：E=A-BC，用最小二乘法拟合，使其N个数据点的均方差最小，即：
在图像数据处理时，数据量比较大，为减小计算量，将矩阵B进行QR分解，即：B=QR，分解后Q为一个N*N的正交矩阵，R为一个N*5的上三角矩阵，对E=A-BC进行如下推导：
由于Q为正交矩阵，可以得到：
令：
其中：
S为一个5维列向量；T为一个N-5维列向量；R1为一个5*5的上三角方阵，则
上式中，当S = R1C时取得最小值，因此只需解出：
即可求出：
中的
这些参数，这里先给出：
这里：
(3)C++代码实现，
bool GetCentrePoint(float& x0,float& y0)
关于Eigen的用法请参考：http://blog.csdn.net/hjx_1000/article/details/8490941
#include “stdafx.h”
#include “GaussAlgorithm.h”
VectorXf m_Vector_A;
MatrixXf m_matrix_B;
int m_iN =-1;
bool InitData(int pSrc[100][100], int iWidth, int iHeight)
{
if (NULL == pSrc || iWidth <=0 || iHeight <= 0)
return false;
m_iN = iWidth*iHeight;
VectorXf tmp_A(m_iN);
MatrixXf tmp_B(m_iN, 5);
int i =0, j=0, iPos =0;
while(i
{
j=0;
while(j
{
tmp_A(iPos) = pSrc[i][j] * log((float)pSrc[i][j]);
tmp_B(iPos,0) = pSrc[i][j] ;
tmp_B(iPos,1) = pSrc[i][j] * i;
tmp_B(iPos,2) = pSrc[i][j] * j;
tmp_B(iPos,3) = pSrc[i][j] * i * i;
tmp_B(iPos,4) = pSrc[i][j] * j * j;
++iPos;
++j;
}
++i;
}
m_Vector_A = tmp_A;
m_matrix_B = tmp_B;
}
bool GetCentrePoint(float& x0,float& y0)
{
if (m_iN<=0)
return false;
//QR分解
HouseholderQR qr;
qr.compute(m_matrix_B);
MatrixXf R = qr.matrixQR().triangularView();
MatrixXf Q = qr.householderQ();
//块操作，获取向量或矩阵的局部
VectorXf S;
S = (Q.transpose()* m_Vector_A).head(5);
MatrixXf R1;
R1 = R.block(0,0,5,5);
VectorXf C;
C = R1.inverse() * S;
x0 = -0.5 * C[1] / C[3];
y0 = -0.5 * C[2] / C[4];
return true;
}
其中：
函数bool InitData(int pSrc[100][100], int iWidth, int iHeight)主要用于将数组转换成相应的矩阵，因为我的所有数据都在一个整形的二维数组中存着，所以需要做这种转换。
函数bool GetCentrePoint(float& x0,float& y0)主要用于对数据点进行二维高斯曲面拟合，并返回拟合的光点中心。