逆矩阵、伪逆矩阵：数据的压缩和复原

逆矩阵、伪逆矩阵、数据的压缩和复原：这一块知识虽然很简单，但在光学各种实验情况下经常用到，特此总结。

矩阵的乘法 （观测矩阵）：C = A* B

C：M*1

A：M*N

B：N*1

A可以理解为一个转化矩阵，或者说 观测矩阵。

矩阵B在观测矩阵A上，观察到的效果是矩阵C

这个思想在物理思想上非常重要，尤其是光学。

实际生活中，往往我们需要通过观测矩阵（A）和观察到的结果（C），来求出原矩阵（B）

也就是解非线性齐次方程，M个方程，N个未知数。

求逆矩阵：当矩阵A必须是方阵的时候，A才是可逆矩阵，这时M=N，有唯一解，B = inv(A) * C，matlab中测试如下。

%测试逆矩阵
A = rand(10,10);
B = rand(10,1);
C = A*B;
BB = inv(A)*C;
B'
BB'

结果：

ans =

    0.0986    0.1420    0.1683    0.1962    0.3175    0.3164    0.2176    0.2510    0.8929    0.7032


ans =

    0.0986    0.1420    0.1683    0.1962    0.3175    0.3164    0.2176    0.2510    0.8929    0.7032

求伪逆矩阵：伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。理解其实就是求不存在逆矩阵的逆矩阵。

当 M>N的时候，也就是说我们探测到的数据量大于原数据量，此时方程数量大于未知数数量，可以直接通过求伪逆求出矩阵B，B = pinv(A) * C

%测试伪逆，M > N
A = rand(10,8);
B = rand(8,1);
C = A*B;
BB = pinv(A)*C;
B'
BB'

结果：
ans =

    0.1375    0.3900    0.9274    0.9175    0.7136    0.6183    0.3433    0.9360


ans =

    0.1375    0.3900    0.9274    0.9175    0.7136    0.6183    0.3433    0.9360

当 N>M的时候，也就是说我们探测到的数据量大于原数据量，此时方程数量小于未知数数量，方程没有唯一解，不能通过B = pinv(A) * C 求出B（压缩感知情况另外考虑 ：https://blog.csdn.net/tyfwin/article/details/88902091）

%测试伪逆 M<N
A = rand(8,10);
B = rand(10,1);
C = A*B;
BB = pinv(A)*C;
B'
BB'

结果：
ans =

    0.7360    0.7947    0.5449    0.6862    0.8936    0.0548    0.3037    0.0462    0.1955    0.7202


ans =

    0.7045    0.7584    0.6073    0.5426    1.0107    0.0920    0.2619    0.1060    0.2999    0.6264