【矩阵论】2. 矩阵分解——QR分解

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换)
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
 1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
 2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
 2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
 2. 矩阵分解——正定阵分解
 2. 矩阵分解——单阵谱分解
 2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
 2. 矩阵分解——正规谱分解
 2. 矩阵分解——高低分解
 3. 矩阵函数——常见解析函数
 3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
 3. 矩阵函数——矩阵函数求导
 4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
 4. 矩阵运算——张量积
 4. 矩阵运算——矩阵拉直
 4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
 4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
 4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
 4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
 5. 线性空间与线性变换——线性空间
 5. 线性空间与线性变换——生成子空间
 5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
 6. 正规方程与矩阵方程求解
 7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
 7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
 7. 矩阵理论——算子范数
 7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
 7. 范数理论——非负/正矩阵
 8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
 8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
 8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

矩阵分解可以得到简化的乘积矩阵，可以简化后续的计算与处理度

在这里插入图片描述

2.2 QR分解

2.2.1 Schmidt正交化

设有3个n阶向量

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

$α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关

令

−

(

)

∣

−

(

)

∣

−

(

)

∣

\begin{aligned} 令&\beta_1=\alpha_1\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\\ &\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{\vert \beta_2\vert^2}-\frac{(\alpha_1,\beta_2)}{\vert \beta_2\vert^2} \end{aligned}

$令 β_{1} = α_{1} β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{∣ β _{1} ∣ ^{2}} β_{3} = α_{3} - \frac{( α _{3} , β _{2} )}{∣ β _{2} ∣ ^{2}} - \frac{( α _{1} , β _{2} )}{∣ β _{2} ∣ ^{2}}$

用 Schmidt 正交化方法可构造半U阵

(

∣

)

Q=\left(\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert},\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert},\frac{\beta_3}{\vert \beta_3\vert}\right)

$Q = (\frac{β _{1}}{∣ β _{1} ∣}, \frac{β _{2}}{∣ β _{2} ∣}, \frac{β _{3}}{∣ β _{3} ∣})$ 是半U阵，可知

Q^HQ=I

$Q^{H} Q = I$

2.2.2 QR分解

a. 定义

高阵

设

(

⋯

)

A=\left(\alpha_1,\cdots,\alpha_p\right)_{n\times p}

$A = (α_{1}, \dots, α_{p})_{n \times p}$ 为列无关(高阵)，则有分解

A=QR

$A = QR$ ，其中

(

⋯

)

Q=\left(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_p \right)_{n\times p}

$Q = (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{p})_{n \times p}$ 为半U阵，

(

∗

⋱

)

R=\left( \begin{matrix} b_1&&*\\ &\ddots&\\ 0&&b_p \end{matrix} \right)

$R = b_{1} 0 ⋱ * b_{p}$ 是上三角, 且

b_i>0

$b_{i} > 0$

Q阵求法

由Schmidt公式，产生正交向量组

β

1

,

β

2

,

⋯

,

β

p

\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p

$β_{1}, β_{2}, \dots, β_{p}$ ，单位化可得

ϵ

1

=

β

1

∣

β

1

∣

,

⋯

,

ϵ

p

=

β

p

∣

β

p

∣

\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert},\cdots,\epsilon_p=\frac{\beta_p}{\vert \beta_p\vert}

$ϵ_{1} = \frac{β _{1}}{∣ β _{1} ∣}, \dots, ϵ_{p} = \frac{β _{p}}{∣ β _{p} ∣}$ ，则

Q

Q

$Q$ 是半U阵，

Q

H

Q

=

I

Q^HQ=I

$Q^{H} Q = I$
R阵求法

A

=

Q

R

A=QR

$A = QR$ ，则

Q

H

A

=

Q

H

Q

R

=

R

⇒

R

=

Q

H

A

Q^HA=Q^HQR=R\Rightarrow R=Q^HA

$Q^{H} A = Q^{H} QR = R \Rightarrow R = Q^{H} A$

方阵

任一方阵

(

⋯

)

A=\left(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\right)

$A = (α_{1}, \dots, α_{n})$ ，有

A=QR

$A = QR$ ，其中

Q=Q_{n\times n}

$Q = Q_{n \times n}$ 是U阵，

(

∗

⋱

)

R=\left( \begin{matrix} b_1&&*\\ &\ddots&\\ 0&&b_p \end{matrix} \right)

$R = b_{1} 0 ⋱ * b_{p}$ 是上三角，且

b_i>0

$b_{i} > 0$

b. QR分解步骤

先用 Schmidt 公式，求U阵Q或半U阵Q
在用 $R=Q^HA R=QHA，求上三角阵R$
写出分解A=QR

(

)

(

)

，求

分解

\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 1&2i\\ i&1\\ i&0 \end{matrix} \right)=\left(\alpha_1,\alpha_2\right)，求QR分解 \end{aligned}

$A = 1 i i 2 i 10 = (α_{1}, α_{2}) ，求 QR 分解$

(

)

−

(

)

∣

(

)

∣

(

)

∣

(

)

令

(

⋯

)

(

)

为半

阵

(

−

)

(

)

为上三角

可得

(

)

(

)

\begin{aligned} &\beta_1=\alpha_1=\left( \begin{matrix} 1\\i\\i \end{matrix} \right),\beta_2=\alpha_1-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_2 \vert^2}\beta_1=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 5i\\4\\1 \end{matrix} \right)\\ &\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1 \vert}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left( \begin{matrix} 1\\i\\i \end{matrix} \right),\epsilon_2=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert}=\frac{1}{42}\left( \begin{matrix} 5i\\4\\1 \end{matrix} \right),\\ &令Q=\left(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_2\right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5i}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{4}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{1}{\sqrt{42}} \end{matrix} \right)为半U阵\\ &R=Q^HA=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{-i}{3}&\frac{-i}{3}\\ \frac{-5i}{\sqrt{42}}&\frac{4}{\sqrt{42}}&\frac{1}{\sqrt{42}}\\ \end{matrix} \right)A=\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&\frac{i}{\sqrt{3}}\\ 0&\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right)为上三角,\\ &可得A=QR=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5i}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{4}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{1}{\sqrt{42}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&\frac{i}{\sqrt{3}}\\ 0&\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right) \end{aligned}

$β_{1} = α_{1} = 1 i i, β_{2} = α_{1} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{∣ β _{2} ∣ ^{2}} β_{1} = \frac{1}{3} 5 i 41 ϵ_{1} = \frac{β _{1}}{∣ β _{1} ∣} = \frac{1}{3} 1 i i, ϵ_{2} = \frac{β _{2}}{∣ β _{2} ∣} = \frac{1}{42} 5 i 41, 令 Q = (ϵ_{1}, \dots, ϵ_{2}) = \frac{1}{3} \frac{i}{3} \frac{i}{3} \frac{5 i}{42} \frac{4}{42} \frac{1}{42} 为半 U 阵 R = Q^{H} A = (\frac{1}{3} \frac{- 5 i}{42} \frac{- i}{3} \frac{4}{42} \frac{- i}{3} \frac{1}{42}) A = (30 \frac{i}{3} \frac{14}{3}) 为上三角, 可得 A = QR = \frac{1}{3} \frac{i}{3} \frac{i}{3} \frac{5 i}{42} \frac{4}{42} \frac{1}{42} (30 \frac{i}{3} \frac{14}{3})$

c. 例题

方阵

(

)

(

)

\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 1&i\\ i&1 \end{matrix} \right)=\left(\alpha_1,\alpha_2\right) \end{aligned}

$A = (1 i i 1) = (α_{1}, α_{2})$

令

(

)

∣

−

(

)

∣

(

)

单位化，令

∣

令

(

)

(

)

(

)

可得

(

)

(

)

\begin{aligned} &令\beta_1=\alpha_1=\left( \begin{matrix} 1\\i \end{matrix} \right),\vert \beta_1\vert^2=2,\vert \beta_1\vert=\sqrt{2}\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1=\left( \begin{matrix} i\\1 \end{matrix} \right)\\ &单位化，令\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}\beta_1,\epsilon_2=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}\beta_2\\ &令Q=\left( \begin{matrix} \epsilon_1,\epsilon_2 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right),R=Q^HA=\left( \begin{matrix} \sqrt{2}&0\\ 0&\sqrt{2} \end{matrix} \right)\\ &可得A=QR=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{2}&0\\ 0&\sqrt{2} \end{matrix} \right) \end{aligned}

$令 β_{1} = α_{1} = (1 i), ∣ β_{1} ∣^{2} = 2, ∣ β_{1} ∣ = 2 β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{∣ β _{1} ∣ ^{2}} β_{1} = (i 1) 单位化，令 ϵ_{1} = \frac{β _{1}}{∣ β _{1} ∣} = \frac{1}{2} β_{1}, ϵ_{2} = \frac{β _{2}}{∣ β _{2} ∣} = \frac{1}{2} β_{2} 令 Q = (ϵ_{1}, ϵ_{2}) = (\frac{1}{2} \frac{i}{2} \frac{i}{2} \frac{1}{2}), R = Q^{H} A = (2002) 可得 A = QR = (\frac{1}{2} \frac{i}{2} \frac{i}{2} \frac{1}{2}) (2002)$

列高阵

(

)

(

−

)

求

\begin{aligned} &A=\left( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \right)=\left( \begin{matrix} 1&-1&4\\ 1&4&-2\\ 1&4&2\\ 1&-1&0 \end{matrix} \right)_{4\times 3},求A=QR \end{aligned}

$A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 1111 - 1 44 - 1 4 - 2 20_{4 \times 3}, 求 A = QR$

令

(

)

∣

−

(

)

∣

(

−

)

∣

−

(

)

∣

−

(

)

∣

(

−

)

∣

(

)

∣

(

−

)

∣

(

−

)

令

(

)

(

−

)

为半

阵

(

−

)

则

(

−

)

(

−

)

\begin{aligned} &令\beta_1=\alpha_1=\left( \begin{matrix} 1\\1\\1\\1 \end{matrix} \right),\vert \beta_1\vert^2=4,\vert \beta_1\vert=2\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1=\frac{5}{2}\left( \begin{matrix} -1\\1\\1\\-1 \end{matrix} \right),\vert \beta_2\vert=5,\\ &\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{\vert \beta_2\vert^2}\beta_2-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}=2\left( \begin{matrix} 1\\-1\\1\\-1 \end{matrix} \right),\vert \beta_3\vert=4\\ &\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1\\1\\1\\1 \end{matrix} \right),\epsilon_2=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -1\\1\\1\\-1 \end{matrix} \right),\epsilon_3=\frac{\beta_3}{\vert \beta_3\vert}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1\\-1\\1\\-1 \end{matrix} \right)\\ & 令Q=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\right)=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&-1&1\\ 1&1&-1\\ 1&1&1\\ 1&-1&-1 \end{matrix} \right),为半U阵.R=Q^HA=\left( \begin{matrix} 2&3&2\\ 0&5&-2\\ 0&0&4 \end{matrix} \right)\\ &则A=QR=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&-1&1\\ 1&1&-1\\ 1&1&1\\ 1&-1&-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2&3&2\\ 0&5&-2\\ 0&0&4 \end{matrix} \right) \end{aligned}

$令 β_{1} = α_{1} = 1111, ∣ β_{1} ∣^{2} = 4, ∣ β_{1} ∣ = 2 β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{∣ β _{1} ∣ ^{2}} β_{1} = \frac{5}{2} - 1 11 - 1, ∣ β_{2} ∣ = 5, β_{3} = α_{3} - \frac{( α _{3} , β _{2} )}{∣ β _{2} ∣ ^{2}} β_{2} - \frac{( α _{3} , β _{1} )}{∣ β _{1} ∣ ^{2}} = 2 1 - 1 1 - 1, ∣ β_{3} ∣ = 4 ϵ_{1} = \frac{β _{1}}{∣ β _{1} ∣} = \frac{1}{2} 1111, ϵ_{2} = \frac{β _{2}}{∣ β _{2} ∣} = \frac{1}{2} - 1 11 - 1, ϵ_{3} = \frac{β _{3}}{∣ β _{3} ∣} = \frac{1}{2} 1 - 1 1 - 1 令 Q = (ϵ_{1}, ϵ_{2}, ϵ_{3}) = \frac{1}{2} 1111 - 1 11 - 1 1 - 1 1 - 1, 为半 U 阵 . R = Q^{H} A = 200350 2 - 2 4 则 A = QR = \frac{1}{2} 1111 - 1 11 - 1 1 - 1 1 - 1 200350 2 - 2 4$

在这里插入图片描述

d. QR分解证明

有

公式，可将

的列向量写为

{

−

(

)

∣

⋮

−

(

)

∣

−

⋯

−

(

−

)

∣

−

∣

−

可知

向量组与

向量组可互相表出：

{

(

∗

)

⋮

(

∗

)

(

∗

)

⋯

⇒

(

⋯

)

(

⋯

)

(

∗

⋯

∗

⋯

∗

⋮

⋱

⋮

⋯

)

若将

向量组单位化：

∣

⋯

∣

则

(

⋯

)

(

∣

⋯

∣

)

(

⋯

)

(

∣

⋱

∣

)

故

(

⋯

)

(

∗

⋯

∗

⋯

∗

⋮

⋱

⋮

⋯

)

(

⋯

)

(

∣

⋱

∣

)

(

∗

⋯

∗

⋯

∗

⋮

⋱

⋮

⋯

)

(

⋯

)

(

∣

∗

⋯

∗

∣

⋯

∗

⋮

⋱

⋮

⋯

∣

)

\begin{aligned} &有Schmidt公式，可将A的列向量写为:\\ &\left\{ \begin{aligned} &\quad\beta_1=\alpha_1\\ &\quad \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1\\ &\quad\vdots\\ &\quad\beta_p=\alpha_p-\frac{(\alpha_p,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1-\cdots-\frac{(\alpha_p,\beta_{p-1})}{\vert \beta_{p-1}\vert^2}\beta_{p-1}\\ \end{aligned} \right.\\ &可知 \alpha向量组与\beta向量组可互相表出：\\ &\left\{ \begin{aligned} &\quad\alpha_1=\beta_1\\ &\quad\alpha_2=(*)\beta_1+\beta_2\\ &\quad\vdots\\ &\quad\alpha_p=(*)\beta_1+(*)\beta_2+\cdots+\beta_p \end{aligned} \right.\\ &\Rightarrow \left(\alpha_1,\cdots,\alpha_p\right)=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p\right)\left( \begin{matrix} 1&*&\cdots&*\\ 0&1&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right)\\ &若将\beta向量组单位化：\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert},\epsilon=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert},\cdots,\epsilon_p=\frac{\beta_p}{\vert \beta_p\vert}\\ &则\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p\right)=\left( \vert \beta_1\vert\epsilon_1,\vert \beta_2\vert\epsilon_2,\cdots,\vert \beta_p\vert\epsilon_p \right)\\ &=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_p\right)\left( \begin{matrix} \vert \beta_1\vert &&\\ &&\vert \beta_2\vert& \\ &&&\ddots&\\ &&&&\vert \beta_p\vert \end{matrix} \right)\\ &故A=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p\right)\left( \begin{matrix} 1&*&\cdots&*\\ 0&1&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right)\\ &=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_p\right)\left( \begin{matrix} \vert \beta_1\vert &&\\ &&\vert \beta_2\vert& \\ &&&\ddots&\\ &&&&\vert \beta_p\vert \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&*&\cdots&*\\ 0&1&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right)\\ &=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_p\right)\left( \begin{matrix} \vert \beta_1\vert&*&\cdots&*\\ 0&\vert \beta_2\vert&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\vert \beta_p\vert \end{matrix} \right)\\ &=QR \end{aligned}

$有 S c hmi d t 公式，可将 A 的列向量写为 : ⎩ ⎨ ⎧ β_{1} = α_{1} β_{2} = α_{2} - \frac{( α _{2} , β _{1} )}{∣ β _{1} ∣ ^{2}} β_{1} ⋮ β_{p} = α_{p} - \frac{( α _{p} , β _{1} )}{∣ β _{1} ∣ ^{2}} β_{1} - \dots - \frac{( α _{p} , β _{p - 1} )}{∣ β _{p - 1} ∣ ^{2}} β_{p - 1} 可知 α 向量组与 β 向量组可互相表出： ⎩ ⎨ ⎧ α_{1} = β_{1} α_{2} = (*) β_{1} + β_{2} ⋮ α_{p} = (*) β_{1} + (*) β_{2} + \dots + β_{p} \Rightarrow (α_{1}, \dots, α_{p}) = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{p}) 10 ⋮ 0 * 1 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots * * ⋮ 1 若将 β 向量组单位化： ϵ_{1} = \frac{β _{1}}{∣ β _{1} ∣}, ϵ = \frac{β _{2}}{∣ β _{2} ∣}, \dots, ϵ_{p} = \frac{β _{p}}{∣ β _{p} ∣} 则 (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{p}) = (∣ β_{1} ∣ ϵ_{1}, ∣ β_{2} ∣ ϵ_{2}, \dots, ∣ β_{p} ∣ ϵ_{p}) = (ϵ_{1}, ϵ_{2}, \dots, ϵ_{p}) ∣ β_{1} ∣ ∣ β_{2} ∣ ⋱ ∣ β_{p} ∣ 故 A = (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{p}) 10 ⋮ 0 * 1 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots * * ⋮ 1 = (ϵ_{1}, ϵ_{2}, \dots, ϵ_{p}) ∣ β_{1} ∣ ∣ β_{2} ∣ ⋱ ∣ β_{p} ∣ 10 ⋮ 0 * 1 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots * * ⋮ 1 = (ϵ_{1}, ϵ_{2}, \dots, ϵ_{p}) ∣ β_{1} ∣ 0 ⋮ 0 * ∣ β_{2} ∣ ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots * * ⋮ ∣ β_{p} ∣ = QR$

e. QR分解的平移性质

若方阵

A_{n\times n}

$A_{n \times n}$ 不可逆

(

∣

)

(\vert A\vert =0)

$(∣ A ∣ = 0)$ ，令

(

)

A_{\epsilon}=(A+\epsilon I),A_{\epsilon}

$A_{ϵ} = (A + ϵ I), A_{ϵ}$ 可逆

⇒

\Rightarrow A_\epsilon=Q_\epsilon R_{\epsilon}

$\Rightarrow A_{ϵ} = Q_{ϵ} R_{ϵ}$ ，若

→

⇒

\epsilon\rightarrow 0\Rightarrow A=QR

$ϵ \to 0 \Rightarrow A = QR$ ，

$Q$ 为U阵，

$R$ 为上三角阵

【矩阵论】2. 矩阵分解——QR分解

2.2 QR分解

2.2.1 Schmidt正交化

2.2.2 QR分解

a. 定义

高阵

方阵

b. QR分解步骤

c. 例题

方阵

列高阵

d. QR分解证明

e. QR分解的平移性质

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方阵

列高阵

d. QR分解证明

e. QR分解的平移性质

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