常数变易法
为什么写这篇文章
学过“常数变易法”的同学请直接点击“常数变易法的原理”
这里只讲述常数变易法的原理，为什么要用常数变易法请参见参考资料《常数变易法的解释 》
在学习高数的过程中，关于为什么在解一阶线性微分方程的时候要使用常数变易法，为什么可以使用常数变易法，常数变易法为什么是有效并且正确的，老师都语焉不详，一笔带过，导致一直不能很好地理解其中的数学思想。自己也只能接受老师的解释，将这个方法强行合理化。
但是最近再次看到一阶线性微分方程的求解，看到直接给出来的求解公式一头雾水，再去翻书，始终还是感觉隔靴搔痒，雾里看花，始终不自在，所以上网搜索了一下，搜到了一篇相关文章（常数变易法的解释 ），终于明白了其中蕴含的深刻而巧妙的数学思想，喜不自禁。
所以在此记录下个人的理解，一则梳理自己的思路，二则可供感兴趣的同学参考，倘能有助于大家理解常数变易法的“自然”性，亦是幸甚。
什么是常数变易法？
有以下一阶线性微分方程：
(1)
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y' +P(x)y=Q(x) \tag1
y′+P(x)y=Q(x)(1)其中，
P
(
x
)
̸
≡
0
P(x)\not \equiv 0
P(x)̸≡0 且
Q
(
x
)
̸
≡
0
Q(x)\not \equiv 0
Q(x)̸≡0。
若解其对应的齐次方程：
(2)
y
′
+
P
(
x
)
y
=
0
y' +P(x)y=0\tag2
y′+P(x)y=0(2)则易有：
y
=
C
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
(
C
≠
0
)
y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)
y=Ce−∫P(x)dx(C̸=0)即为齐次方程的通解。
这时，我们可以用常数变易法来求非齐次方程
(
1
)
(1)
(1)的通解，即将齐次方程
(
2
)
(2)
(2)的通解中的常数
C
C
C换成（变易为）一个关于
x
x
x的未知函数
u
(
x
)
u(x)
u(x)，变易之后，非齐次方程通解表示如下：
(3)
y
=
u
(
x
)
⋅
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
(
u
(
x
)
̸
≡
0
)
y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} \Big(u(x)\not\equiv 0\Big)\tag3
y=u(x)⋅e−∫P(x)dx(u(x)̸≡0)(3)于是将该通解形式代入原方程
(
1
)
(1)
(1)，可以解得：
u
(
x
)
=
∫
Q
(
x
)
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
+
C
u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C
u(x)=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C将上式代入
(
3
)
(3)
(3)式，即可解得：
y
=
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
⋅
(
∫
Q
(
x
)
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
+
C
)
y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)
y=e−∫P(x)dx⋅(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)这就是所谓常数变易法。
可以看到，这里把常数
C
C
C 直接代换为了函数
u
(
x
)
u(x)
u(x) ，显得十分生硬不自然，没有什么说服力。然而书上很少会对这个方法的由来作出介绍，所以想必会使很多人感到困惑。
错误的理解
对于常数变易法，我以前的理解是：
既然
y
=
C
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
(
C
≠
0
)
y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)
y=Ce−∫P(x)dx(C̸=0) 可以使齐次方程
y
′
+
P
(
x
)
y
=
0
y' +P(x)y=0
y′+P(x)y=0 成立，那么在其基础上增添一个函数，就应该使得该方程运算结果多出一个与自由项相关的余项
Q
(
x
)
Q(x)
Q(x)，所以可以使用常数变易法。
这样的理解是基于表面形式做出的一个解释，然而还是不能够明确地说明这个方法的正当性与正确性。
所以我们需要进一步探究其内在的原理。
常数变易法的原理
基本
容易理解，我们可以把任意函数表示成为两个函数之积，即
(4)
y
(
x
)
=
u
(
x
)
⋅
v
(
x
)
y(x)=u(x)\cdot v(x)\tag4
y(x)=u(x)⋅v(x)(4)对
y
(
x
)
y(x)
y(x) 求导，得：
y
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
y′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
计算
将
y
(
x
)
=
u
(
x
)
⋅
v
(
x
)
y(x)=u(x)\cdot v(x)
y(x)=u(x)⋅v(x)，
y
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
y′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x) 代入非齐次方程
(
1
)
(1)
(1)，整理得到：
(5)
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
⋅
[
v
′
(
x
)
+
P
(
x
)
v
(
x
)
]
=
Q
(
x
)
u'(x)v(x)+u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]=Q(x)\tag5
u′(x)v(x)+u(x)⋅[v′(x)+P(x)v(x)]=Q(x)(5)由解一阶线性微分方程的常用方法分离变量法容易想到，如果没有
u
(
x
)
⋅
[
v
′
(
x
)
+
P
(
x
)
v
(
x
)
]
u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]
u(x)⋅[v′(x)+P(x)v(x)] 这一项，我们就可以简便地利用分离变量法进行计算。
现在单独考察
u
(
x
)
⋅
[
v
′
(
x
)
+
P
(
x
)
v
(
x
)
]
u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]
u(x)⋅[v′(x)+P(x)v(x)] 这一项。其中
u
(
x
)
u(x)
u(x) 不确定，不能用来保持
u
(
x
)
⋅
[
v
′
(
x
)
+
P
(
x
)
v
(
x
)
]
̸
≡
0
u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\not\equiv0
u(x)⋅[v′(x)+P(x)v(x)]̸≡0 ，所以考虑另一个因式
v
′
(
x
)
+
P
(
x
)
v
(
x
)
v'(x)+P(x)v(x)
v′(x)+P(x)v(x) 。显然
v
(
x
)
v(x)
v(x) 是不确定的，在
u
(
x
)
u(x)
u(x) 不确定的情况下，可以任意取值。则假设
v
(
x
)
v(x)
v(x) 满足
(6)
v
′
(
x
)
+
P
(
x
)
v
(
x
)
≡
0
v'(x)+P(x)v(x)\equiv0\tag6
v′(x)+P(x)v(x)≡0(6) 观察式
(
6
)
(6)
(6) ，可以看到其形式与式
(
2
)
(2)
(2) 基本一致。
求解式
(
6
)
(6)
(6)，可以得其通解形式：
(7)
v
(
x
)
=
C
1
⋅
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
v(x)=C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}\tag7
v(x)=C1⋅e−∫P(x)dx(7)将所得通解代入
(
4
)
(4)
(4)，则
(8)
y
(
x
)
=
u
(
x
)
⋅
C
1
⋅
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
y(x)=u(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}\tag8
y(x)=u(x)⋅C1⋅e−∫P(x)dx(8)将
(
8
)
(8)
(8) 式代入
(
5
)
(5)
(5) 式，得到：
u
′
(
x
)
⋅
C
1
⋅
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
=
Q
(
x
)
u'(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)
u′(x)⋅C1⋅e−∫P(x)dx=Q(x)使用分离变量法，容易解得：
(9)
u
(
x
)
=
1
C
1
∫
Q
(
x
)
⋅
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
+
C
2
u(x)=\frac1{C_1}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C_2\tag9
u(x)=C11∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx+C2(9)将
(
7
)
(7)
(7)
(
9
)
(9)
(9) 同时代入式
(
4
)
(4)
(4) ，则
y
(
x
)
=
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
(
∫
Q
(
x
)
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
+
C
1
C
2
)
y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1C_2)
y(x)=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C1C2)令
C
=
C
1
C
2
C=C_1C_2
C=C1C2，则得原一阶线性微分方程的通解为：
y
(
x
)
=
e
−
∫
P
(
x
)
d
x
(
∫
Q
(
x
)
e
∫
P
(
x
)
d
x
d
x
+
C
)
y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)
y(x)=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)
推广
这一部分是在知乎看到了关于“常数变易法”在高阶作用的问题之后增补的
问题链接：常数变易法思想的来源或本质是什么？
现在有一般
n
n
n阶线性微分方程
(10)
P
n
(
x
)
y
(
n
)
+
P
n
−
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
+
P
n
−
2
(
x
)
y
(
n
−
2
)
.
.
.
+
P
1
(
x
)
y
′
+
P
0
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
P_{n}(x)y^{(n)}+P_{n-1}(x)y^{(n-1)}+P_{n-2}(x)y^{(n-2)}…+P_{1}(x)y'+P_{0}(x)y=Q(x)\tag{10}
Pn(x)y(n)+Pn−1(x)y(n−1)+Pn−2(x)y(n−2)...+P1(x)y′+P0(x)y=Q(x)(10)
由前述有，
y
(
x
)
y(x)
y(x)可以表示为
y
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
y(x)=u(x)v(x)
y(x)=u(x)v(x)。
现在我们考察两函数乘积的高阶微分形式。
比较二项式展开定理我们不难发现，对
y
=
u
v
y=uv
y=uv的高阶微分具有类似的形式。
比如：
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
(uv)'=u'v+uv'
(uv)′=u′v+uv′
(
u
v
)
′
′
=
(
u
′
v
+
u
v
′
)
′
=
u
′
′
v
+
2
u
′
v
′
+
u
v
′
′
(uv)''=(u'v+uv')'=u''v+2u'v'+uv''
(uv)′′=(u′v+uv′)′=u′′v+2u′v′+uv′′
.
.
.
…
...
从原理上来看，展开多项式的每一项都应有
n
n
n阶微分，而这
n
n
n阶微分分别分配在
u
、
v
u、v
u、v上；对于多项式的每一项，相当于任选
k
k
k个微分算子作用于
u
u
u，则另有
(
n
−
k
)
(n-k)
(n−k)个微分算子作用于
v
v
v，与二项式展开定理本质相同，所以展开形式也应相同。
则有式
(
11
)
(11)
(11)：
(11)
(
u
v
)
(
n
)
=
C
n
0
u
(
n
)
v
+
C
n
1
u
(
n
−
1
)
v
(
1
)
+
C
n
2
u
(
n
−
2
)
v
(
2
)
+
.
.
.
+
C
n
n
−
1
u
(
1
)
v
(
n
−
1
)
+
C
n
n
u
v
(
n
)
(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v^{(1)}+C_n^2u^{(n-2)}v^{(2)}+…+C_n^{n-1}u^{(1)}v^{(n-1)}+C_n^nuv^{(n)}\tag{11}
(uv)(n)=Cn0u(n)v+Cn1u(n−1)v(1)+Cn2u(n−2)v(2)+...+Cnn−1u(1)v(n−1)+Cnnuv(n)(11)
将这个一般形式代回式
(
10
)
(10)
(10)，假设将
u
u
u作为主要研究对象（以
v
v
v为主要研究对象亦可，二者地位相同），则按
u
u
u的导数降阶排列多项式：
(12)
M
n
−
1
(
x
)
u
(
n
)
+
M
n
−
2
(
x
)
u
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
M
0
(
x
)
u
′
+
(
P
n
(
x
)
v
(
n
)
+
P
n
−
1
(
x
)
v
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
P
1
(
x
)
v
′
+
P
0
(
x
)
v
)
u
=
Q
(
x
)
M_{n-1}(x)u^{(n)}+M_{n-2}(x)u^{(n-1)}+…+M_0(x)u'+\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+…+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)u=Q(x)\tag{12}
Mn−1(x)u(n)+Mn−2(x)u(n−1)+...+M0(x)u′+(Pn(x)v(n)+Pn−1(x)v(n−1)+...+P1(x)v′+P0(x)v)u=Q(x)(12)
其中，
M
i
(
x
)
M_i(x)
Mi(x)为关于
x
x
x的多项式。
按一阶情况下的原理，可以令多项式
(
P
n
(
x
)
v
(
n
)
+
P
n
−
1
(
x
)
v
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
P
1
(
x
)
v
′
+
P
0
(
x
)
v
)
≡
0
\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+…+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)\equiv0
(Pn(x)v(n)+Pn−1(x)v(n−1)+...+P1(x)v′+P0(x)v)≡0消去
u
u
u项。解
v
v
v即为解式
10
10
10对应的齐次线性微分方程。
则剩下的式子为
M
n
−
1
(
x
)
u
(
n
)
+
M
n
−
2
(
x
)
u
(
n
−
1
)
+
.
.
.
+
M
0
(
x
)
u
′
=
Q
(
x
)
M_{n-1}(x)u^{(n)}+M_{n-2}(x)u^{(n-1)}+…+M_0(x)u'=Q(x)
Mn−1(x)u(n)+Mn−2(x)u(n−1)+...+M0(x)u′=Q(x)
令
α
(
x
)
=
u
′
(
x
)
\alpha(x)=u'(x)
α(x)=u′(x)，则上式化为
(13)
M
n
−
1
(
x
)
α
(
n
−
1
)
+
M
n
−
2
(
x
)
α
(
n
−
2
)
+
.
.
.
+
M
0
(
x
)
α
=
Q
(
x
)
M_{n-1}(x)\alpha^{(n-1)}+M_{n-2}(x)\alpha^{(n-2)}+…+M_0(x)\alpha=Q(x)\tag{13}
Mn−1(x)α(n−1)+Mn−2(x)α(n−2)+...+M0(x)α=Q(x)(13)
比较式
(
12
)
、
(
13
)
(12)、(13)
(12)、(13)，可以看到：通过常数变易法，成功地把求解一个
n
n
n阶线性微分非齐次方程的问题，为了求解一个对应的
n
n
n阶线性微分齐次方程和一个
(
n
−
1
)
(n-1)
(n−1)阶线性微分非齐次方程的问题。
总结
很显然我们可以看到，常数变易法是蕴含了很深刻的数学思想、具有很强健的数学基础的解题方法，并非无根之萍，更不是突发奇想或是强行合理。
但是从其原理上来讲，将其称呼为“常数变易法”是不太妥当的，本质上它并非是单纯地使用一个函数来替代了齐次方程通解的常数。
常数变易法的称呼应该说为了便于日常应用和直观记忆，这里可以不必纠结。
参考资料
[1] lookof,常数变易法的解释
[2] 崔士襄,邯郸农业高等专科学校,“常数变易法”来历的探讨