特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性代数中十分关键的一部分内容。
概念
特征值和特征向量都是方阵的属性。描述的是方阵的特征，同时特征值和特征向量表征是当方阵做变换时候的一个特征。具体举例如下，
以一个向量在两个空间坐标系中的转换为例，给出空间基向量的矩阵，一个是标准基，另一个是
A
A
A，
对于一些向量，满足如下特点，
总结为一个向量经过坐标转换后对应的向量与其本身相比方向不变，是其某个倍数。这种向量
u
⃗
\vec{u}
u称为
A
A
A矩阵对应于
λ
\lambda
λ的特征向量，相应的倍数称为
A
A
A矩阵的特征值。
求解特征值和特征向量
对于
A
u
⃗
=
λ
u
⃗
A\vec{u} = λ\vec{u}
Au=λu而言，零向量在任何情况下是肯定满足的，即零向量是一个平凡解。所以，特征向量不考虑零向量。
但是，
λ
=
0
λ=0
λ=0并不平凡，当
λ
=
0
λ=0
λ=0时，
A
u
⃗
=
0
A\vec{u} = 0
Au=0是一个齐次线性方程组。回顾之前的知识，如果矩阵
A
A
A可逆，则
A
u
⃗
=
0
A\vec{u}=0
Au=0这个线性系统的
u
⃗
\vec{u}
u只有零解，但零向量不考虑在特征向量中，所以
u
⃗
\vec{u}
u不为零向量。故此时
A
A
A不可逆。所以特征值可以为0。
计算过程
方程有非零解对应的就是向量
u
⃗
\vec{u}
u不是零向量，回顾之前矩阵可逆的一系列等价命题，
因为此时
u
⃗
≠
0
\vec{u}≠0
u̸=0，所以方阵
A
A
A不可逆，对应着如上所有命题的逆命题，其中与计算相关的还有一个命题就是矩阵
A
A
A的行列式在
A
A
A不可逆时为0。所以求取特征值和特征向量就转化为一个求取行列式的问题，
d
e
t
(
A
−
λ
I
)
=
0
det(A-\lambda I)=0
det(A−λI)=0
这也就是行列式是求取特征值和特征向量的基础的原因。上面的方程中只有
λ
λ
λ一个未知数，对于所有的矩阵
A
A
A都是适用的，所以上面的方程也称为特征方程。
以上面笔记中的
A
A
A矩阵为例，
∣
A
−
λ
I
∣
=
∣
4
−
λ
−
2
1
1
−
λ
∣
=
(
4
−
λ
)
(
1
−
λ
)
−
(
−
2
)
=
λ
2
−
5
λ
+
6
=
(
λ
−
2
)
(
λ
−
3
)
=
0
|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}4-\lambda&-2\\1&1-\lambda\end{vmatrix}\\=(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\\=\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3)=0
∣A−λI∣=∣∣∣∣4−λ1−21−λ∣∣∣∣=(4−λ)(1−λ)−(−2)=λ2−5λ+6=(λ−2)(λ−3)=0
可得，
λ
1
=
2
λ
2
=
3
\lambda_1=2\\\lambda_2=3
λ1=2λ2=3
对于每一个特征值求取特征向量，该过程就是一个求取线性系统解的过程，
对于一个特征值
λ
λ
λ而言，特征向量是不唯一的，有无数个。
基于上面的推导，也将矩阵可逆的等价命题补全，
相关概念
- 若
u
⃗
\vec{u}
u是A
A
A对应于λ
λ
λ的一个特征向量，则k
u
⃗
k\vec{u}
ku也是一个特征向量（k
≠
0
k≠0
k̸=0）
对该结论进行证明，
A
(
k
u
⃗
)
=
k
(
A
u
⃗
)
=
k
(
λ
u
⃗
)
=
λ
(
k
u
⃗
)
A(k\vec{u})=k(A\vec{u})=k(\lambda \vec{u})=\lambda(k\vec{u})
A(ku)=k(Au)=k(λu)=λ(ku) -
(
A
−
λ
I
)
u
⃗
=
0
(A-λI)\vec{u}=0
(A−λI)u=0可以视为特征向量构成了A
−
λ
I
A-λI
A−λI 零空间（刨除零向量），此时E
λ
=
O
∪
λ
的
特
征
向
量
Eλ = {O}∪{λ的特征向量}
Eλ=O∪λ的特征向量，E
λ
Eλ
Eλ称为λ
λ
λ对应的特征空间。 - 计算
λ
λ
λ的过程中，d
e
t
(
A
−
λ
I
)
=
0
det(A-λI)=0
det(A−λI)=0是一个关于λ
λ
λ的n
n
n次方程，对应λ
λ
λ存在n
n
n个解。
如果n
n
n维矩阵A
A
A有n
n
n个特征值，即n
n
n个实数解，且每个解各不相同，则称为简单特征值。
如果特征方程得到的n个特征值有相同的值存在的情况，此时的特征值称为多重特征值。
如果特征方程在实数范围内没有解，但是在复数范围内存在解，则称特征值为复数特征值。
特征值与特征向量的性质
特殊方阵的特征值和特征向量
- 对角矩阵
对角矩阵的特征值计算时根本无需求解矩阵的特征方程，对角线上的每个元素都是一个特征值。 - 上三角矩阵和下三角矩阵
上三角矩阵和下三角矩阵计算行列式的方式与对角矩阵相同，所以其特征值也和对角矩阵是一样的。
若λ是方阵A的特征值，则λm是Am的特征值
对这一问题的证明分为两种情况
-
m
≥
1
m≥1
m≥1时，
-
m
=
−
1
m=-1
m=−1时，此时A
−
1
A^{-1}
A−1是矩阵A
A
A的逆
如果矩阵A含有两个不同的特征值，则他们对应的特征向量是线性无关的
