陶哲轩实分析 4.4 节习题试解

4.4.1 设
x
是比例数,证明存在唯一的整数 n 满足
nx<n+1


x
分情况讨论。
(1)x0 ,这时
x=a/b

a,b
都是自然数,并且
b0

那么由欧几里德算法有:

a=mb+r
其中
m,r
为自然数,并且满足
0r<b

那么


x=ab=mb+rb=m+rb



可以看出


m
满足: mx<m+1

下面再证明


m
的唯一性。
假设存在另一个 nm 也满足


nx<n+1


那么有:


nab<n+1nba<nb+b


r=anb
,那么有
0r<b

也就是
a=nb+r
其中
n,r
为自然数,并且满足
0r<b

而欧几里德算法保证了
a
只有唯一的一种拆分方式。也就是说 n=m,r=r 与原假设矛盾。
所以
x0
时,存在唯一的整数
n
满足 nx<n+1

(2)当
x<0
时,
x
可表示为 x=a/b ,其中
a,b
都是自然数,并且
a0,b0

同样由欧几里德算法有:

a=mb+r
其中
m,r
为自然数,并且满足
0r<b

那么


x=ab=mbrb=mrb



再对


r
分情况讨论。
(2.1) r=0 这时


x=m
,设


m=m
, 则


m
满足:


mx<m+1



证明这种情况下


m
是唯一的。假设还有另一个整数


nm
,也满足


nx<n+1


那么有:


nm<n+1



满足这个条件的


n
只有一个 n=m。 这与原假设矛盾。所以此情况下


m
是唯一的。

(2.2)
0<r<b

那么有:


x=ab=mrb=m1+brb






m=m1,r=br
,那么有


0<r<b


上式简化为:


x=m+rb



所以


m
满足:


nm<n+1


证明这种情况下


m
是唯一的。假设还有另一个整数


nm
,也满足


nx<n+1


nab<n+1


r=anb

那么有:


xn0abn0anbb0r0

还有:


n+1x>0n+1ab>0nb+a+bb>0r+1>0r<1

所以
r
满足
0r<1
并且有:


x=n+rb=m+rb

不妨假设
rr
,那么


0nm=rrb<1

所以
n=m
。这与原假设矛盾。 所以
m
是唯一的。

综上,就证明了对任意比例数 x,存在唯一的整数
n
满足 nx<n+1

4.4.2 证明不存在无限减小的自然数序列。

反证法:假设存在一个自然数序列
{a0,a1,,an,}
,这个序列满足对一切的自然数
n
都有 an0
an>an+1

那么可以用数学归纳法证明对任意的自然数
k
和 任意的自然数 n ,都有
an>k

证明如下:

k=0
时,显然有
an>k

假设对
k
成立,也就是n,an>k
下面用反证法证明 对于
k+1
也有
n,an>k+1

假设对于
k+1
, 如果存在某一个
m
满足 amk 同时根据上面假设又有
am>k
那么必然
am=k+1
。那么
am+1<am=k+1
,所以
am+1k
,与
am>k
的假设矛盾。
所以
m,am>k+1

所以,任意的自然数
k
和 任意的自然数 n ,都有
an>k

而我们知道不存在大于任意自然数的自然数。所以这样的自然数序列
{a0,a1,,an,}
不存在。

4.4.3 证明不存在比例数
x
满足 x2=2

首先,
x0
,因为
02=0

其次,如果存在这样的比例数,那么这样的比例数中必然有正比例数。因为如果这样的比例数是负的。那么
x
必然是正的,并且满足
(x)2=2


x=p0/q0
其中
p0

q0
是两个自然数,满足
p0>q0
,并且:


(p0)2=2(q0)2



那么


p0
一定是偶数,因此


p0=2p1
,所以有:


2(p1)2=(q0)2



所以


p1<q0<p0
。 另外,


q0
也是偶数,必然可以写为


q0=2q1



(p1)2=2(q1)2

利用数学归纳法可以证明这个过程可以无限进行下去:

假设对于
n
成立:

(pn)2=2(qn)2

那么
pn
为偶数。所以存在一个自然数
pn+1
满足
2pn+1=pn

所以:


2(pn+1)2=(qn)2pn+1<pn

所以
qn
也是偶数,也就是说存在一个自然数
qn+1
满足
2qn+1=qn

所以:


(pn+1)2=2(qn+1)2qn+1<qn

所以对于任意的自然数
n
都有:

(pn)2=2(qn)2p0>p1>p2>>pn>q0>q1>q2>>qn>

也就是说
pn
是无限递减的自然数序列。而无限减小原理表明不存在这样的自然数列。
所以不存在比例数
x
满足 x2=2


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