第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、映射概念
定义
设
X
,
Y
X, Y
X,Y 是两个非空集合,如果存在一个法则
f
f
f, 使得对
X
X
X中每个元素
x
x
x, 按法则
f
f
f,在
Y
Y
Y中有唯一确定的元素
y
y
y 与之对应,那么称
f
f
f为从
X
X
X到
Y
Y
Y的映射,记作
f
:
x
→
y
f: x\rightarrow y
f:x→y
其
中
y
称
为
元
素
x
(
在
映
射
f
下
)
的
像
,
并
记
作
f
(
x
)
,
即
其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即
其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)
构成一个映射必须具备一下三个要素:定义域,值域,对应法则
对每一个,元素
x
x
x的像有是唯一的;而对每个
y
∈
R
f
y \in R_{f}
y∈Rf ,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的,值域
R
f
R^{_{f}}
Rf是的一个子集,即
R
f
⊂
Y
R_{f}\subset Y
Rf⊂Y,不一定
R
f
=
y
R_{f} = y
Rf=y.
逆映射与复合映射
设
f
f
f是
X
X
X到
Y
Y
Y的单射, 则由定义,对每个
y
∈
R
f
y\in R_{f}
y∈Rf ,有唯一的
x
∈
X
x \in X
x∈X ,适合
f
(
x
)
=
y
f(x) = y
f(x)=y, 定义一个从
R
f
R_{f}
Rf到
X
X
X 的新映射
g
g
g,即
g
:
R
f
→
X
g: R_{f}\rightarrow X
g:Rf→X
对每个
y
∈
R
f
y\in R_{f}
y∈Rf 规定
g
(
y
)
=
x
g(y)=x
g(y)=x.这个映射
g
g
g称为
f
f
f 的逆映射
f
−
1
f^{-1}
f−1.
定义域
D
f
−
1
=
R
f
D_{f^{-1}}=R_{f}
Df−1=Rf, 值域
R
f
−
1
=
X
R_{f^{-1}}=X
Rf−1=X
根据上述定义 只有单射才存在逆映射
设有两个映射
g
:
X
→
Y
1
f
:
Y
1
→
Z
g : X \rightarrow Y_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f :Y_{1} \rightarrow Z
g:X→Y1 f:Y1→Z
其中
Y
1
⊂
Y
2
Y_{1} \subset Y_{2}
Y1⊂Y2
则由映射
g
g
g和
f
f
f 可以定出一个从
X
X
X到
Z
Z
Z 的对应法则,它将每个
x
∈
X
x \in X
x∈X 映成
f
[
g
(
x
)
]
∈
Z
f[g(x)]\in Z
f[g(x)]∈Z。对应法则组确定了一个从
X
X
X到
Z
Z
Z 的映射,这个映射称为映射
g
g
g和
f
f
f构成的复合映射,记作
f
∘
g
f \circ g
f∘g, 即
f
∘
g
:
X
→
Z
,
(
f
∘
g
)
(
x
)
=
f
[
g
(
x
)
]
,
x
∈
X
f \circ g: X \rightarrow Z, (f \circ g) (x) =f[g(x)], x \in X
f∘g:X→Z,(f∘g)(x)=f[g(x)],x∈X
映射
g
g
g 和
f
f
f 构成复合映射的条件:
g
g
g 的值域必须包含在
f
f
f 的定义域内, 即
R
g
⊂
D
f
R_{g} \subset D_{f}
Rg⊂Df, 否则不能构成复合映射
映射
g
g
g 和
f
f
f 是有顺序的,
f
∘
g
≠
g
∘
f
f \circ g \neq g\circ f
f∘g=g∘f
二、函数
函数的定义:
设数集
D
⊂
R
D \subset R
D⊂R,则称映射
f
:
D
→
R
f: D\rightarrow R
f:D→R 为定义在D上的函数,通常简记为其中
x
x
x称为自变量,
y
y
y称为因变量,
D
D
D称为定义域,记作
D
f
D_f
Df,即
D
f
=
D
D_f=D
Df=D.
函数的特性:
- 函数的有界性
- 函数的单调性
- 函数的奇偶性
- 函数的周期性