第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一、映射概念

定义

X

,

Y

X, Y

X,Y 是两个非空集合,如果存在一个法则

f

f

f, 使得对

X

X

X中每个元素

x

x

x, 按法则

f

f

f,在

Y

Y

Y中有唯一确定的元素

y

y

y 与之对应,那么称

f

f

f为从

X

X

X

Y

Y

Y的映射,记作

f

:

x

y

f: x\rightarrow y

f:xy

y

x

f

f

(

x

)

,

其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即

yxff(x),

y

=

f

(

x

)

y=f(x)

y=f(x)
构成一个映射必须具备一下三个要素:定义域,值域,对应法则
对每一个,元素

x

x

x的像有是唯一的;而对每个

y

R

f

y \in R_{f}

yRf ,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的,值域

R

f

R^{_{f}}

Rf是的一个子集,即

R

f

Y

R_{f}\subset Y

RfY,不一定

R

f

=

y

R_{f} = y

Rf=y.

逆映射与复合映射

f

f

f

X

X

X

Y

Y

Y的单射, 则由定义,对每个

y

R

f

y\in R_{f}

yRf ,有唯一的

x

X

x \in X

xX ,适合

f

(

x

)

=

y

f(x) = y

f(x)=y, 定义一个从

R

f

R_{f}

Rf

X

X

X 的新映射

g

g

g,即

g

:

R

f

X

g: R_{f}\rightarrow X

g:RfX
对每个

y

R

f

y\in R_{f}

yRf 规定

g

(

y

)

=

x

g(y)=x

g(y)=x.这个映射

g

g

g称为

f

f

f逆映射

f

1

f^{-1}

f1.
定义域

D

f

1

=

R

f

D_{f^{-1}}=R_{f}

Df1=Rf, 值域

R

f

1

=

X

R_{f^{-1}}=X

Rf1=X

根据上述定义 只有单射才存在逆映射

设有两个映射

g

:

X

Y

1

          

f

:

Y

1

Z

g : X \rightarrow Y_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f :Y_{1} \rightarrow Z

g:XY1          f:Y1Z
其中

Y

1

Y

2

Y_{1} \subset Y_{2}

Y1Y2
则由映射

g

g

g

f

f

f 可以定出一个从

X

X

X

Z

Z

Z 的对应法则,它将每个

x

X

x \in X

xX 映成

f

[

g

(

x

)

]

Z

f[g(x)]\in Z

f[g(x)]Z。对应法则组确定了一个从

X

X

X

Z

Z

Z 的映射,这个映射称为映射

g

g

g

f

f

f构成的复合映射,记作

f

g

f \circ g

fg, 即

f

g

:

X

Z

,

(

f

g

)

(

x

)

=

f

[

g

(

x

)

]

,

x

X

f \circ g: X \rightarrow Z, (f \circ g) (x) =f[g(x)], x \in X

fg:XZ,(fg)(x)=f[g(x)],xX
映射

g

g

g

f

f

f 构成复合映射的条件:

g

g

g 的值域必须包含在

f

f

f 的定义域内, 即

R

g

D

f

R_{g} \subset D_{f}

RgDf, 否则不能构成复合映射
映射

g

g

g

f

f

f 是有顺序的,

f

g

g

f

f \circ g \neq g\circ f

fg=gf

二、函数

函数的定义:
设数集

D

R

D \subset R

DR,则称映射

f

:

D

R

f: D\rightarrow R

f:DR 为定义在D上的函数,通常简记为其中

x

x

x称为自变量,

y

y

y称为因变量,

D

D

D称为定义域,记作

D

f

D_f

Df,即

D

f

=

D

D_f=D

Df=D.

函数的特性:

  1. 函数的有界性
  2. 函数的单调性
  3. 函数的奇偶性
  4. 函数的周期性

反函数与复合函数

函数的运算


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