9.8 多元函数微分的代数应用——多元函数的极值

本篇中我们主要总结一下多元函数的代数应用——多元函数找寻极值点。

在开始之前，先做一个回顾，还是老规矩，我们以一元函数的极值比对多元函数的这一部分内容。

回顾

• 一元函数极值的定义
  • 在y=f(x)上一点x₀的去心邻域内，有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)为y=f(x)的极大值，x₀为y=f(x)的极大值点；
  • 在y=f(x)上一点x₀的去心邻域内，有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)为y=f(x)的极小值，x₀为y=f(x)的极小值点；
• 判别法
  • 第一充分条件：通过一阶导数的正负反映函数增减性判断极值点；
  • 第二充分条件：
    • f’(x₀)=0,f’’(x₀)<0,则f(x₀)为极大值，x₀为极大值点
    • f’(x₀)=0,f’’(x₀)>0,则f(x₀)为极小值，x₀为极小值点

回顾就到这里，再细一点的内容请参阅3.5 极值与最值。

多元函数极值

多元函数极值我们分为两个情况。
无条件极值

无条件极值的判别步骤

例题

例1

条件极值

Case 1

求条件极值的步骤：
第一步：使用拉格朗日乘除法构造函数

第二步，求三个偏导数，令之等于0，解出x,y
解出x,y后可能会得到不止一组点，此时，将之代入，最大的就是最大值，最小的就是最小值，反正就是全部代进去。

例题

例2


Case 2
条件极值的第二种形式，约束条件是一个方程组
步骤类似
以上就是本篇的全部内容，无条件极值的情况要算ABC判别式，条件极值就是构造方程然后解方程组就行了。

本篇完。