导读：
第六章 抽样推断
一．参数与统计量
参数是指描述总体分布状况的数；
统计量是指由样本构造出来的数。
例如，一个班的学生的平均年龄为22岁，平均年龄即为班组总体的一个参数；在班级中抽出10名学生，了解其年龄，并根据10名学生的年龄计算平均数为21.5岁，则21.5即为由样本构造出来的统计量。
抽样推断，就是由统计量推断总体的过程。
二．有放回条件下的简单随机抽样（
Simple Random Sampling
）误差计算
1
．样本平均数的分布
从一个总体中抽出一部分单位，构成一个样本，可计算出一个样本平均数。
无数次抽选的结果，将会产生无数个样本平均数，这些样本平均数具有自己的分布形式。根据大数定理，当样本量超过30时，样本平均数的分布为正态分布。
2
．基本公式
在有放回条件下，简单随机抽样的误差计算公式如下
3
．统计推断
利用正态分布的特征，可以计算出落在各个区间内的概率。区间的大小一般可以用一个概率度来表示。
查标准正态分布表，可以获得下列概率度与概率值的对应关系
概率度（t） 概率值（ p ） 概率度（ t ） 概率值（ p ）
1.28 80% 1 68.27%
1.64 90% 2 95.45%
1.96 95% 3 99.73%
2.58 99%
考察这样一个例子：
某总体标准差为100，平均值为40，抽出一个36个单位构成的样本，试在95％的置信度水平下，估计样本平均数的范围。
从此例子可以逆推：
某总体标准差为100，其一个36个单位组成的样本的平均数为40，试在95％的置信度水平下，估计总体平均数的范围。
4
．利用样本标准差推断总体标准差
在实践中，可以使用样本的标准差作为总体标准差的无偏估计量。
考察这样一个例子：
在一批材料中抽查20根测得重量数值如下（单位：公斤）
110 111 111 112 113 114 114 114 115
116 116 117 118 119 119 119 119 120
121 124
试估计这批材料的平均重量，在95％的置信度水平下列出置信区间。
5
．无放回条件下的简单随机抽样误差
可以简化作
三．影响抽样误差的因素
根据抽样误差的计算公式，可以看出，影响抽样误差的主要因素主要有下列四个方面：
1．目标总体的变异程度
目标总体的变异程度（）是影响抽样误差的最主要的因素之一，总体的变异程度越大，在确定样本下的抽样误差越大。
2．样本容量
对于一个确定的总体，减小抽样误差的主要手段就是增加样本量。从公式中可以知道，抽样误差与样本量的平方根成正比，欲使抽样误差缩小一半，必须使样本量增加到原来的四倍。
3．抽样方式
有放回抽样和无放回抽样的计算公式略有不同，如果采用无放回的方式，抽样误差会略小一些。
需要注意，在抽样比（）非常小的情况下，无放回抽样与有放回抽样的误差基本是相同的，可以利用有放回抽样的误差计算公式来代替无放回的情况。在这一公式中，没有总体单位数N的存在，也就是说，当抽样比非常小的情况下，总体单位数的大小对于抽样误差没有影响。
这就说明了为什么在大城市进行调查和在小城市进行调查，要获得同样的精度时，所需的样本量相差无几。
4．抽样的组织形式。
抽样的组织形式是纯随机抽样、分层抽样、整群抽样或者多阶段抽样等方式，各种方式都有对应的误差计算公式，不同情况下的抽样误差相差也比较大。
四．样本量的计算
1
．简单随机抽样条件下样本量的计算公式
样本量的计算方式是基于无放回简单随机抽样的误差计算公式
为使抽样估计的误差范围小于某个指定的，需要使样本量n的值满足下列式子：
由此计算出来的n是简单随机抽样条件下的样本量。
考虑这样一个例子：
已知某总体的标准差为100，欲在95％的置信度水平下使抽样估计的误差范围小于5，试求样本量。
2
．总体标准差的估算方法
（1）根据以往的经验数值
对于一些连续进行的调查来说，使用过去的经验数据进行估算是有可能的。
（2）通过试访问进行估计
通过试访问的方法，先获得少数一部分样本的误差数据，然后根据这些数据去计算最终所需要的样本量，然后再将所需要的样本量完成。
（3）成数估计条件下采用的最大值法
在成数估计的条件下，方差的最大值为0.25，因此可以使用最大的方差作为推断最大样本量的基础。
（4）序贯抽样方法
所谓序贯抽样，是指依次抽取样本，每抽取一次，进行一次误差计算，直至达到所需要的精度。
五．其他抽样方式的抽样误差计算
1
．分层抽样（
Stratified Sampling
）
从计算公式中可以看到，层与层之间的误差不影响最终的抽样误差，因此，分层抽样应当努力使层间差异大，层内差异小。
当各层的调查费用相等时，样本的最优分配为
这一分配公式称为Neyman分配。
2
．整群抽样（
Cluster Sampling
）
3
．多阶段抽样（
Multi-stage Sampling
）
多阶段抽样的误差计算取决于各阶段的抽样方式，以最简单的二阶段抽样为例，如果每一阶段的抽选都是简单随机抽样，一阶单位的规模相同，则有下列公式：
其中：为第一阶段的抽样比，为第二阶段的抽样比。
为总体一阶单位间的方差；
为第二阶段的单位间方差。
4
．设计效应的计算
当因子小于1时，说明抽样设计的效率高于SRS。
如果一个复杂抽样的因子可以估计，则对应相同精度的简单随机抽样样本量，复杂抽样设计的样本量为：
第六章 抽样推断
一．参数与统计量
参数是指描述总体分布状况的数；
统计量是指由样本构造出来的数。
例如，一个班的学生的平均年龄为22岁，平均年龄即为班组总体的一个参数；在班级中抽出10名学生，了解其年龄，并根据10名学生的年龄计算平均数为21.5岁，则21.5即为由样本构造出来的统计量。
抽样推断，就是由统计量推断总体的过程。
二．有放回条件下的简单随机抽样（
Simple Random Sampling
）误差计算
1
．样本平均数的分布
从一个总体中抽出一部分单位，构成一个样本，可计算出一个样本平均数。
无数次抽选的结果，将会产生无数个样本平均数，这些样本平均数具有自己的分布形式。根据大数定理，当样本量超过30时，样本平均数的分布为正态分布。
2
．基本公式
在有放回条件下，简单随机抽样的误差计算公式如下
3
．统计推断
利用正态分布的特征，可以计算出落在各个区间内的概率。区间的大小一般可以用一个概率度来表示。
查标准正态分布表，可以获得下列概率度与概率值的对应关系
概率度（t） 概率值（ p ） 概率度（ t ） 概率值（ p ）
1.28 80% 1 68.27%
1.64 90% 2 95.45%
1.96 95% 3 99.73%
2.58 99%
考察这样一个例子：
某总体标准差为100，平均值为40，抽出一个36个单位构成的样本，试在95％的置信度水平下，估计样本平均数的范围。
从此例子可以逆推：
某总体标准差为100，其一个36个单位组成的样本的平均数为40，试在95％的置信度水平下，估计总体平均数的范围。
4
．利用样本标准差推断总体标准差
在实践中，可以使用样本的标准差作为总体标准差的无偏估计量。
考察这样一个例子：
在一批材料中抽查20根测得重量数值如下（单位：公斤）
110 111 111 112 113 114 114 114 115
116 116 117 118 119 119 119 119 120
121 124
试估计这批材料的平均重量，在95％的置信度水平下列出置信区间。
5
．无放回条件下的简单随机抽样误差
可以简化作
三．影响抽样误差的因素
根据抽样误差的计算公式，可以看出，影响抽样误差的主要因素主要有下列四个方面：
1．目标总体的变异程度
目标总体的变异程度（）是影响抽样误差的最主要的因素之一，总体的变异程度越大，在确定样本下的抽样误差越大。
2．样本容量
对于一个确定的总体，减小抽样误差的主要手段就是增加样本量。从公式中可以知道，抽样误差与样本量的平方根成正比，欲使抽样误差缩小一半，必须使样本量增加到原来的四倍。
3．抽样方式
有放回抽样和无放回抽样的计算公式略有不同，如果采用无放回的方式，抽样误差会略小一些。
需要注意，在抽样比（）非常小的情况下，无放回抽样与有放回抽样的误差基本是相同的，可以利用有放回抽样的误差计算公式来代替无放回的情况。在这一公式中，没有总体单位数N的存在，也就是说，当抽样比非常小的情况下，总体单位数的大小对于抽样误差没有影响。
这就说明了为什么在大城市进行调查和在小城市进行调查，要获得同样的精度时，所需的样本量相差无几。
4．抽样的组织形式。
抽样的组织形式是纯随机抽样、分层抽样、整群抽样或者多阶段抽样等方式，各种方式都有对应的误差计算公式，不同情况下的抽样误差相差也比较大。
四．样本量的计算
1
．简单随机抽样条件下样本量的计算公式
样本量的计算方式是基于无放回简单随机抽样的误差计算公式
为使抽样估计的误差范围小于某个指定的，需要使样本量n的值满足下列式子：
由此计算出来的n是简单随机抽样条件下的样本量。
考虑这样一个例子：
已知某总体的标准差为100，欲在95％的置信度水平下使抽样估计的误差范围小于5，试求样本量。
2
．总体标准差的估算方法
（1）根据以往的经验数值
对于一些连续进行的调查来说，使用过去的经验数据进行估算是有可能的。
（2）通过试访问进行估计
通过试访问的方法，先获得少数一部分样本的误差数据，然后根据这些数据去计算最终所需要的样本量，然后再将所需要的样本量完成。
（3）成数估计条件下采用的最大值法
在成数估计的条件下，方差的最大值为0.25，因此可以使用最大的方差作为推断最大样本量的基础。
（4）序贯抽样方法
所谓序贯抽样，是指依次抽取样本，每抽取一次，进行一次误差计算，直至达到所需要的精度。
五．其他抽样方式的抽样误差计算
1
．分层抽样（
Stratified Sampling
）
从计算公式中可以看到，层与层之间的误差不影响最终的抽样误差，因此，分层抽样应当努力使层间差异大，层内差异小。
当各层的调查费用相等时，样本的最优分配为
这一分配公式称为Neyman分配。
2
．整群抽样（
Cluster Sampling
）
3
．多阶段抽样（
Multi-stage Sampling
）
多阶段抽样的误差计算取决于各阶段的抽样方式，以最简单的二阶段抽样为例，如果每一阶段的抽选都是简单随机抽样，一阶单位的规模相同，则有下列公式：
其中：为第一阶段的抽样比，为第二阶段的抽样比。
为总体一阶单位间的方差；
为第二阶段的单位间方差。
4
．设计效应的计算
当因子小于1时，说明抽样设计的效率高于SRS。
如果一个复杂抽样的因子可以估计，则对应相同精度的简单随机抽样样本量，复杂抽样设计的样本量为：
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