性质4 绝对可积性

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $|f(x)|$ 也在 $[a, b]$ 上可积，且
$| \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x | \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x$

证明：

$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，因此 $|f(x)|$ 也在 $[a, b]$ 上有界。
对于区间 $[a,b]$ 的任意一个划分 $P$， $\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n,$
令 $M_i = \sup \{|f(x)|: x \in [x_{i - 1}, x_i], \},$
$m_i = \inf \{|f(x)|: x \in [x_{i - 1}, x_i] \},$
$w_i = M_i - m_i,$

令 $M_i' = \sup \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i], \},$
$m_i' = \inf \{f(x): x \in [x_{i - 1}, x_i] \},$
$w_i' = M_i' - m_i',$

则：
$\forall \varepsilon \gt 0, \exists \hat x \in [x_{i - 1}, x_i],$ 使得 $|f( \hat x)| \gt M_i - \dfrac {\varepsilon} {2} ,$
$\exists \tilde x \in [x_{i - 1}, x_i],$ 使得 $|f( \tilde x)| \lt m_i + \dfrac {\varepsilon} {2},$
易知 $m_i' \le f( \hat x), f( \tilde x) \le M_i',$
$\Rightarrow m_i' - M_i' \le f( \hat x) - f( \tilde x) \le M_i' - m_i' = w_i',$
$\Rightarrow |f( \hat x) - f( \tilde x)| \le w_i',$
因此
$w_i - \varepsilon = M_i - m_i - \varepsilon$
$\lt |f( \hat x)| - |f( \tilde x)|$
$\le | \left |f( \hat x) \right| - \left |f( \tilde x) \right| |$
$\le |f( \hat x) - f( \tilde x)| ,$
$= w_i',$
$\Rightarrow w_i \le w_i',$
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则
$\forall \varepsilon \gt 0,$ 存在区间 $[a,b]$ 的划分 $P$，使得
$\sum _{i = 1} ^{n} w_i' \Delta x_i \lt \varepsilon,$
$\Rightarrow \sum _{i = 1} ^{n} w_i \Delta x_i \le \sum _{i = 1} ^{n} w_i' \Delta x_i \lt \varepsilon,$
因此 $|f(x)|$ 也在 $[a, b]$ 上可积。
易知 $\forall x \in [a, b], -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|,$
由性质3，
$- \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x =\int_{a} ^{b} [-|f(x)|] \mathrm {d} x \le \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x,$
因此 $| \int_{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x | \le \int_{a} ^{b} |f(x)| \mathrm {d} x$