线性变换
f
：
A
→
B
f：A\to B
f：A→B 是单射（单同态）的充要条件是
K
e
r
f
=
{
e
}
{\rm Ker} f=\{e\}
Kerf={e}
必要性显然。
充分性：
若
K
e
r
f
=
{
e
}
{\rm Ker} f=\{e\}
Kerf={e}，设
f
f
f 不是单射。
则存在
x
1
,
x
2
∈
A
x_1,x_2\in A
x1,x2∈A, s.t.
x
1
≠
x
2
,
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
x_1\neq x_2,f(x_1)=f(x_2)
x1=x2,f(x1)=f(x2)
则
f
(
x
1
−
x
2
)
=
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
=
0
f(x_1-x_2)=f(x_1)-f(x_2)=0
f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)=0
从而
x
1
−
x
2
≠
0
x_1-x_2\neq 0
x1−x2=0 且
x
1
−
x
2
∈
K
e
r
f
x_1-x_2\in{\rm Ker} f
x1−x2∈Kerf
2021年12月13日22:54:05 添加了证明