图的逻辑结构与存储结构

一、图的逻辑结构

一、图的定义

       图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G=(V，E)。其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。

      若顶点vi和vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，表示为<vi,vj>。 如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

二、图的基本术语

简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。

邻接、依附：无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。有向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在弧<vi，vj>，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶点vi，同时称弧<vi，vj>依附于顶点vi和顶点vj 。

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。  

稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；

稠密图：称边数很多的图为稠密图。

顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD (v)。

顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)；

顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。

权：是指对边赋予的有意义的数值量。

网：边上带权的图，也称网图。

路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2, …, vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。

路径长度：非带权图：路径上边的个数；带权图：路径上各边的权之和

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。

简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。

子图：若图G=（V，E），G’=（V’，E’），如果V’ÍV 且E’ Í E ，则称图G’是G的子图。

连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。

连通分量：非连通图的极大连通子图称为连通分量。

强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj (i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。

强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。

生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。

生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。

二、图的遍历

一、深度优先遍历

⑴ 访问顶点v；

⑵ 从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；

⑶ 重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。

二、广度优先遍历

⑴ 访问顶点v；

⑵ 依次访问v的各个未被访问的邻接点v1, v2, …, vk；

⑶ 分别从v1，v2，…，vk出发依次访问它们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。

三、图的存储结构

一、邻接矩阵

用一个一维数组存储图中顶点的信息

用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。

假设图G＝(V，E)有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：

const int MaxSize=10; 
template <class T>
class Mgraph{
   public:
      MGraph(T a[ ], int n, int e );   
       ~MGraph( )
       void DFSTraverse(int v); 
       void BFSTraverse(int v);
        ……
   private:
       T vertex[MaxSize]; 
       int arc[MaxSize][MaxSize]; 
       int vertexNum, arcNum; 
};
//构造函数
template <class T>
MGraph::MGraph(T a[ ], int n, int e) 
{
    vertexNum=n; arcNum=e;
    for (i=0; i<vertexNum; i++) 
        vertex[i]=a[i];
    for (i=0; i<vertexNum; i++)    //初始化邻接矩阵
	   for (j=0; j<vertexNum; j++)
           arc[i][j]=0;             
    for (k=0; k<arcNum; k++) {
        cin>>i>>j;     //边依附的两个顶点的序号
        arc[i][j]=1;  arc[j][i]=1;  //置有边标志    
    }
}
//深度优先搜索
int visited[MaxSize];
template <class T>
void MGraph::DFSTraverse(int v)
{
     cout<<vertex[v]; visited [v]=1;
     for (j=0; j<vertexNum; j++)
         if (arc[v][j]==1 && visited[j]==0)
            DFSTraverse( j );
}
//广度优先搜索
int visited[MaxSize];
template <class T>
void MGraph::BFSTraverse(int v)
{     
    front=rear=-1;   //假设采用顺序队列且不会发生溢出
    int Q[MaxSize]; 
    cout<<vertex[v]; 
    visited[v]=1;  
    Q[++rear]=v; 
    while (front!=rear)    
    {
         v=Q[++front];   
         for (j=0; j<vertexNum; j++)
            if (arc[v][j]==1 && visited[j]==0 ) 
            {
                  cout<<vertex[j]; visited[j]=1; Q[++rear]=j;
            }
      }
}

二、邻接表

对于图的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边表（对于有向图则称为出边表）

所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。

vertex

firstedge

顶点表   

                                      

adjvex

next

边表

 

vertex：数据域，存放顶点信息。 firstedge：指针域，指向边表中第一个结点。 adjvex：邻接点域，边的终点在顶点表中的下标。next：指针域，指向边表中的下一个结点。

struct ArcNode{   
      int adjvex; 
      ArcNode *next;
};

template <class T>
struct VertexNode{
      T vertex;
      ArcNode *firstedge;
};
const int MaxSize=10;    //图的最大顶点数
template <class T>
class ALGraph
{    
   public:
       ALGraph(T a[ ], int n, int e);   
       ~ALGraph;    
       void DFSTraverse(int v);      
       void BFSTraverse(int v);      
   ………
  private:
       VertexNode adjlist[MaxSize];   
       int vertexNum, arcNum;       
};
//构造函数
template <class T>
ALGraph::ALGraph(T a[ ], int n, int e)
{   
    vertexNum=n; arcNum=e; 
    for (i=0; i<vertexNum; i++)   
    {
       adjlist[i].vertex=a[i];
       adjlist[i].firstedge=NULL;      
    } 
     for (k=0; k<arcNum; k++)   
     {
         cin>>i>>j;    
         s=new ArcNode; s->adjvex=j;  	        
         s->next=adjlist[i].firstedge;    
         adjlist[i].firstedge=s;
     }
}
//深度优先搜索
template <class T>
void ALGraph::DFSTraverse(int v)
{        
    cout<<adjlist[v].vertex;  visited[v]=1;
    p=adjlist[v].firstedge;    
    while (p!=NULL)     
    {
        j=p->adjvex;
        if (visited[j]==0) DFSTraverse(j);
    p=p->next;           
    }
}
//广度优先搜索
template <class T>
void ALGraph::BFSTraverse(int v)
{
   front=rear=-1;   
   cout<<adjlist[v].vertex;    
   isited[v]=1;   
   Q[++rear]=v;   
   while (front!=rear)  
   {
       v=Q[++front];    
       p=adjlist[v].firstedge;    
       while (p!=NULL)  
       {
            j= p->adjvex;
            if (visited[j]==0) 
            {
                cout<<adjlist[j].vertex;  
                visited[j]=1; 
                Q[++rear]=j;
            }
            p=p->next;
       }
    }
}

三、十字链表

vertex

firstin

firstout

顶点表结点

 

tailvex

headvex

headlink

taillink

边表节点

 

vertex：数据域，存放顶点信息；firstin：入边表头指针；firstout：出边表头指针；tailvex：弧的起点在顶点表中的下标；headvex：弧的终点在顶点表中的下标；headlink：入边表指针域；taillink：出边表指针域。

四、边集数组

利用两个一维数组：一个数组存储顶点信息，另外一个数组存储边及其权。数组分量包含三个域：边所依附的两个顶点，权值，各边在数组中的次序可以任意。