伪逆矩阵的定义

定义：令A是任意mXn矩阵，称矩阵G是A的广义逆矩阵，若G满足下述条件（Moore-penrose条件）：

（1）GAG = G；

（2）AGA = A；

（3）AG为hermitian矩阵，即（AG）^H=AG；

（4）GA为hermitian矩阵，即（GA）^H=GA；

伪逆矩阵的求法

① 直接求解：

求导，令导数为0，结果如下: InvA=(A^TA)^-1A^T

 % 直接求伪逆

 InvA = inv(A'*A)*A';

② SVD求解

%% SVD分解求伪逆

% 原理和公式：1. SVD分解得到的矩阵:U和V是正交阵，S是对角阵

%            2. 正交阵的逆=转置

%            3. 对角阵的逆=非零元素求倒

% Step1: 求解A的SVD分解

 [U,S,V] = svd(A); % A = U*S*V'

% Step2: 将S中的非零元素求倒

 T=S;

 T(find(S~=0)) = 1./S(find(S~=0));

% Step3: 求invA

svdInvA = V * T' * U';

③ QR求解

%% QR分解求伪逆

% 适用于稀疏矩阵

% 原理和公式：1. QR分解得到的矩阵:Q是正交阵，R是非奇异上三角阵

%            2. 正交阵的逆=转置

%            3. 上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。不必用高斯消去法，向前替换法解方程。

%               但是具体的我不知道怎么用程序来写，这里仍旧用了matlab的函数。

[Q,R] = qr(A);

InvR =  inv(R'*R)*R';

qrInvA =InvR*Q';

(1)信号的检测干扰消除

a=floor(10*rand(4,3))
a =
7 4 2
7 6 6
1 7 6
4 7 1

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b=inv(a’*a)*a’
b =
0.1018 0.0650 -0.0959 -0.0180
-0.0263 -0.0767 0.0578 0.1658
-0.0296 0.1149 0.0903 -0.1719

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b*a
ans =
1.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 1.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000

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看到没Moore-Penrose伪逆满足(a)^+*a=xij当i=j时xij=1；否则为0。