浙江省人口增长预测
[问题描述]
人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。一般的人口预测统计学模型，其预测精度难以保证。所以选择一个好的人口预测模型，首先应符合人口基本理论和数学建模的要求，这是选择模型的关键，其次要保证模型数据可得一致性与可比性，在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。
浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对浙江省做出分析和预测是一个重要问题。
近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。
关于浙江省人口统计问题已积累了大量数据资料。附录1、2就是从《浙江统计年鉴》、《统计公报》上收集到的部分数据，亦可以从浙江省统计局网址（http://www.zj.stats.gov.cn/index.html）中下载。
试从浙江省的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录1、2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
[中短期模型假设] 人口指数增长模型：
时刻t人口增长的速率,即单位时间人口的增长量,与当时人口数成正比,即人口增长率为常数r.以P(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数,设人口数P(t)足够大,可以视做连续函数处理,且P(t)关于t连续可微.
[Logistic模型假设] Logistic模型：
地球上的资源有限,不妨设为1;而一个人的正常生存需要占用资源(这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为);在时刻t,人口增长的速率与当时人口数成正比,为简单起见也假设与当时剩余资源成正比;比例系数表示人口的固有增长率;设人口数P(t)足够大,可以视做连续变量处理,且P(t)关于t连续可微.
[指数模型建立]
r 为固有增长率, N(t)为 t 时人口数， 为最初人口数，
假设人口增长使用指数模型：dN/dt=rx，x(0)=a;
指数关系N(t)=aert
将N(t)=aert 式取对数可得lnN(t)=lna+rt,它是关于t的线性函数模型。
再根据1990~2006年的数据估计a，r。
可得模型的预测结果为：
|
年份 |
实际人口 |
模拟人口 |
|
1990 |
4234.91 |
4178.9 |
|
1991 |
4261.37 |
4209.3 |
|
1992 |
4285.91 |
4239.9 |
|
1993 |
4313.30 |
4270.8 |
|
1994 |
4341.20 |
4301.8 |
|
1995 |
4369.63 |
4333.1 |
|
1996 |
4400.09 |
4364.7 |
|
1997 |
4422.28 |
4396.4 |
|
1998 |
4446.86 |
4428.4 |
|
1999 |
4467.46 |
4460.6 |
|
2000 |
4501.22 |
4493.1 |
|
2001 |
4519.84 |
4525.8 |
|
2002 |
4535.98 |
4558.7 |
|
2003 |
4551.58 |
4591.9 |
|
2004 |
4577.22 |
4625.3 |
|
2005 |
4602.11 |
4658.9 |
|
2006 |
4629.43 |
4692.8 |
|
2007 |
|
4727 |
|
2008 |
|
4761.4 |
|
2009 |
|
4796 |
|
2010 |
|
4830.9 |
|
2011 |
|
4866.1 |
|
2012 |
|
4901.5 |
|
2013 |
|
4937.1 |
|
2014 |
|
4973.1 |
|
2015 |
|
5009.2 |
|
2016 |
|
5045.7 |
|
2017 |
|
5082.4 |
|
2018 |
|
5119.4 |
|
2019 |
|
5156.6 |
|
2020 |
|
5194.2 |
|
2021 |
|
5231.9 |
|
2022 |
|
5270 |
|
2023 |
|
5308.4 |
|
2024 |
|
5347 |
|
2025 |
|
5385.9 |
[Logistic模型建立]
建立Logistic模型：
这就是说, 在人口相当多时, 人口增长率减少, 而且越靠近人口上限 M 時, 增长率越小.
而当0<P(t)< M时，
由上两式得 ：
化简知：
由初始条件 P(t0)=P0, 0 < P0 < M，可知：
。
年份 实际人口 模拟人口
1990 4234.91 4243.3
1991 4261.27 4267.9
1995 4369.63 4366.1
1996 4400.09 4390.7
2000 4501.22 4488.5
2005 4602.11 4610.2
2006 4629.43 4634.5
2007 4658.7
2010 4731
2015 4850.7
2020 4969.1
2025 5086
2030 5201.3
[模型结论]
预测数据显示在接下去的50年里，浙江省的人口将持续增加，但增长率将逐渐减缓，不过减缓的幅度很小，并且在接下去的100年内，人口总数还远远低于最大容纳量，这说明近些年浙江省的计划生育以及人口规划做的相当好，基本符合可持续发展规划的大纲。
自然增长率虽然已经控制得当，但是，由于人口基数的庞大，每年的净增人口数量依然很多，这也是今后应该值得注意的。把人口控制工作抓紧抓好，为社会主义现代化建设事业创造良好的环境。为此，必须科学确定最适人口数量、最大人口承载量。只有这样，我们才能从理论研究和实际工作两个方面抓好人口工作，为建设社会主义和谐社会做出自己的贡献。
[模型优缺点]
马尔萨斯模型比较简单快速的预测出未来十几年人口的变化，而且误差一般会保持在3%以内，是比较理想粗略的估计人口状况的一种好办法，但是它不能预测出男女人口的比例，老龄化人口的比例等等相关的信息。
阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足,可以被用来做相对较长时期的人口预测。在0 < P0 < M时，阻滞增长模型曲线为单调曲线.而P0 〉M时，阻滞增长模型曲线为不规则曲线，此时，不能再用阻滞增长模型（Logistic模型）。我想应该还有更适合的模型吧！
[灰色预测模型]
从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。
GM（1，1）模型为一阶微分方程
（2-1）
方程中的 为原始数据序列 的依次累加值，即系统的逐年累计总量；而方程左边第一项为系统的逐年增量，即系统发展速度。可见，GM（1，1）模型是描述和研究系统的总量与系统流量之间的动态关系的微分方程。解微分方程得到时间函数： （2-2）
再进行累减还原，便得到
（2-3）
以上方程即为GM（1,1）模型进行灰色预测的基本计算公式。
步骤如下:
（1）若给定原始数据序列
（2-4）
（2）计算一次累加数据序列，以弱化起其随机性，强化规律性
（2-5）
（3）构造矩阵向量B与向量
（2-6）
（2-7）
（4）用最小二乘法求解系数
（2-8）
（5）建立GM（1，1）模型
（2-9）
（6）将 还原
（2-10）
（7）求出 与 之差 及相对误差 ：
（2-11）
[参考文献]
浙江省人口基本数据：
|
年份
|
总人口（万） |
出生率(‰) |
死亡率（‰） |
自然增长率（‰） |
净增人口(万) |
|
1979 |
3792.33 |
17.98 |
5.89 |
12.09 |
41.37 |
|
1980 |
3826.58 |
15.59 |
6.29 |
9.3 |
34.25 |
|
1981 |
3871.51 |
17.93 |
6.27 |
11.66 |
44.93 |
|
1982 |
3924.32 |
18.31 |
5.94 |
12.37 |
52.81 |
|
1983 |
3963.1 |
15.89 |
6.37 |
9.52 |
38.78 |
|
1984 |
3993.09 |
12.52 |
5.99 |
6.53 |
29.99 |
|
1985 |
4029.56 |
12.61 |
6.05 |
6.56 |
36.47 |
|
1986 |
4070.07 |
15.96 |
5.94 |
10.02 |
40.51 |
|
1987 |
4121.19 |
17.01 |
6.92 |
10.09 |
51.12 |
|
1988 |
4169.85 |
15.54 |
6.35 |
9.19 |
48.66 |
|
1989 |
4208.88 |
15.2 |
6.41 |
8.79 |
39.03 |
|
1990 |
4234.91 |
15.33 |
6.31 |
9.02 |
26.03 |
|
1991 |
4261.37 |
14.48 |
6.39 |
8.09 |
26.46 |
|
1992 |
4285.91 |
14.72 |
6.57 |
8.15 |
24.54 |
|
1993 |
4313.3 |
13.61 |
6.58 |
7.03 |
27.39 |
|
1994 |
4341.2 |
13.24 |
6.64 |
6.6 |
27.9 |
|
1995 |
4369.63 |
12.66 |
6.75 |
5.91 |
28.43 |
|
1996 |
4400.09 |
12.09 |
6.58 |
5.51 |
30.46 |
|
1997 |
4422.28 |
11.41 |
6.48 |
4.93 |
22.19 |
|
1998 |
4446.86 |
11.15 |
6.33 |
4.82 |
24.58 |
|
1999 |
4467.46 |
10.64 |
6.35 |
4.29 |
20.6 |
|
2000 |
4501.22 |
10.3 |
6.13 |
4.17 |
33.76 |
|
2001 |
4519.84 |
10.02 |
6.25 |
3.77 |
18.62 |
|
2002 |
4535.98 |
9.98 |
6.19 |
3.79 |
16.14 |
|
2003 |
4551.58 |
9.66 |
6.38 |
3.28 |
15.6 |
|
2004 |
4577.22 |
10.71 |
5.76 |
4.95 |
25.64 |
|
2005 |
4602.11 |
11.1 |
6.08 |
5.02 |
24.89 |
|
2006 |
4629.43 |
10.29 |
5.42 |
4.87 |
27.32 |