转动惯量与惯性矩（截面）比较

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杆件纯弯曲中正应力与截面弯矩关系有公式，

\sigma = \dfrac{My}{I}

$σ = \frac{M y}{I}$
开始以为

$I$ 就是转动惯量（moment of inertia，记为

$J$ ）,但是怎么计算都不对，在重新从好查其一步一步推导过程才明白这个I是截面的惯性矩（moment of inertia of area，记为

$I$ ）。浪费了几天时间，特此记录。

相关定义另行查阅。这里特别注意百度百科中使用的是

$I$ , 也是我弄混淆的一个原因。所以要理解定义对应的含义，不能但看字母
可以简单联系到转动物体的转动质量（个人理解），我们知道物体平动动能为

E_K = \dfrac{1}{2}mv^2

$E_{K} = \frac{1}{2} m v^{2}$
在转动中

E_K = \dfrac{1}{2}J\omega^2

$E_{K} = \frac{1}{2} J ω^{2}$

\omega

$ω$ 表示角速度，就这么对比着理解吧。

转动惯量定义，
离散系统

∑

J = \sum_{i=1}^N m_ir_i^2

$J = i = 1 \sum N m_{i} r_{i}^{2}$
连续系统

∭

J = \iiint_Vr^2\rho dV

$J = ∭_{V} r^{2} ρ d V$
简单的说就是质量微元到指定线距离的平方乘积在积分。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置

面积元素dA与其至z轴或y轴距离平方的乘积在积分（如果平面的坐标系使用yz表示）

∫

I_z=\int{y^2dA}

$I_{z} = \int y^{2} d A$
惯性矩的物理意义是指截面抵抗弯曲的性质。与之相关的有平行移轴定理等