文章目录
1.代数常数/特异元素（定义）
代数常数包括幺元和零元。
要求：找出指定代数系统中的代数常数。
2.幺元/单位元（定义）
- 左幺元：如果对集合中的任意x，都有e▲x=x，则称e为左幺元；运算表中左幺元所在的行与列首元素相同；
- 右幺元：如果对集合中的任意x，都有x▲e=x，则称e为右幺元；运算表中右幺元所在的列与其行首元素相同；
- 幺元：同时满足左幺元和右幺元的元素称为幺元。运算表中幺元所对应的行和列与运算表对应的行和列相同。
要求：判断一个元素是否为幺元以及找出一个代数系统中的幺元。
相关：幺元唯一性定理（性质）
如果一个代数系统中对于某种运算同时存在左幺元和右幺元，则：
- 左右幺元相等且均等于幺元；
- 该代数系统对于此运算的幺元唯一。
3.零元（定义）
- 如果对于集合中任意x，都有e*x=e，则称e为左零元；
- 如果x*e=e，则称e为右零元；
- 同时满足左零元和右零元的元素称为零元，运算表中零元所在的行列都与该元素相同。
要求：判断一个元素是否为零元以及找出一个代数系统中的零元。
相关：零元唯一性定理（性质）
如果一个代数系统中对于某种运算同时存在左零元和右零元，则：
- 左右零元相等且均等于零元；
- 该代数系统对于此运算的零元唯一。
相关：幺元零元不相等定理（性质）
对于一个元素个数大于一的代数系统，如果该集合同时有零元和幺元，那么零元和幺元一定不相等。
4.逆元的定义
注意：逆元是一个相对于元素而非相对于集合的概念。
- 左逆元和左可逆：对于一个存在幺元e的集合，如果对于其中一个元素a，存在b▲a=e，则称b为a的左逆元，a为左可逆；
- 右逆元和右可逆：对于一个存在幺元e的集合，如果对于其中一个元素b，存在a▲b=e，则称b为a的右逆元，a为右可逆；
- 逆元的概念：如果b同时是左逆元和右逆元，则称b为a的逆元。
要求：在代数系统中找出指定元素的逆元。
相关：逆元唯一性充要条件（性质）
如果一个代数系统中存在幺元，且每一个元素都有左逆元且对应的运算可结合，那每个元素的左逆元也是右逆元，且每个元素的逆元唯一。
相关题型
题型汇总：
- 根据二元运算表指出左右幺元（左同首行，右同首列）
- 根据二元运算表指出左右零元（左同行首，右同列首）
- 找出常见代数系统的幺元和零元
1.设集合S共有四个元素，在S上定义的两个二元运算的运算表如下所示，请指出左幺元或右幺元。
解析：本题考察根据二元运算表判定左右幺元。
在二元运算表中，左幺元所在的行的元素与其列首所在行元素相同，右幺元所在的列的元素与其行首所在列元素相同。由该结论可知对于*运算，β和sita是左幺元，没有右幺元；对于★运算，α是右幺元，没有左幺元。同时，也可以判断该代数系统中不含有幺元。
2.代数系统A=<{a,b,c},※>，用下表定义，请指出左右幺元和左右零元。
解析：本题考察根据二元运算表判定左右幺元和左右零元。
该代数系统中b为左幺元，没有右幺元；在二元运算表中，左零元所在的行元素都等于行首元素，右零元所在的列都等于列首元素，因此可以判断该代数系统中a和b是右零元，没有左零元。
3.指出代数系统<I,×>,<P(s),∩,∪>和<N,+>的幺元和零元。
解析：本题考察常用代数系统的幺元和零元。
整数乘法的幺元是1，零元是0；
幂集的交运算的幺元是全集，零元是空集，并运算的幺元是空集，幺元是全集；
自然数加法的幺元是零，没有零元。
4.证明代数系统的零元唯一性定理
解析：本题属于具有一定难度的证明题，直接从定义出发，用反证法证明。首先假设左右零元存在且不等，设左零元为el，右零元为er，则将右零元视为一般元素有el×er=el，将左零元视为一般元素有el×er=er，所以el=er，设都等于e。假设存在e’也为零元，则将e视为一般元素有e×e’=e’，将e’视为一般元素有e×e’=e，所以e=e’，矛盾。
5.考虑代数系统<R,+，>，其中R为实数集，+和分别表示普通的加法和乘法，问其中是否每一个元素都有逆元？如果有逆元，逆元是什么？
解析：本题属于理解题，考察逆元的定义。
对于加法，其幺元为0，因此每个元素都存在逆元，即自己的相反数；
对于乘法，幺元为1，除了0以外每个元素都有自己的逆元，即自己的倒数。
6.指出代数系统<N,+>的逆元，其中N是自然数集而+是指通常的加法。
解析：本题属于理解题，考察逆元的定义。
对于自然数的加法，幺元为0，但是除了0之外任何一个元素的相反数都不是自然数，因此只有元素0存在逆元为0。
7.代数系统<Z+,*>满足哪些性质？并指出其特殊元素，运算表示求两个数的最小公倍数。
解析：本题属于理解题，综合考察了二元运算性质和代数系统的特殊元素的定义。
由上一章的内容可知该代数系统满足封闭性、交换性、结合性，幂等律；求两个数最小公倍数的幺元为1，不存在零元，只有1存在逆元为其本身而其他元素都不存在逆元。
8.假设A={a,b,c}，A上的三个二元运算如下图所示，判断下面三个运算是否满足交换律和幂等律，同时求出三个运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元。
解析：本题属于综合理解题，考察两种运算律和代数系统的特殊元素的定义。
由三个二元运算表可知*运算满足交换律，不满足幂等律，a为幺元，不存在零元，a的逆元为a，b的逆元为c，c的逆元为b；
第二个运算满足交换律和幂等律，a为幺元，b为零元，a的逆元为a；
第三个运算不满足交换性，满足幂等律，a,b,c都是左幺元，但是不存在幺元，a,b,c都是右零元，但是不存在零元，因为不存在幺元所以一定不存在逆元。
9.如下图所示：
解析：本题为简单理解题，考察特殊元素的定义。
由表可知a是幺元，∈是右零元。
10.设集合S={α,β,γ,d}，定义在S上的一个二元运算*如下表所示，求出该代数系统中的特殊元素。
解析：该题与上题类似。由二元运算表可知β是幺元，不存在零元。
11.下列代数系统A中，哪一个没有单位元？
A.A=R，a▲b=a+b+2ab
B.A=R,a*b=|a-b|
C.A=Mn（R），运算是矩阵乘法
解析：本题为简单理解题，考察幺元的定义。
A选项中，由于该运算可交换，并且a*0=a+0=0=a，因此0是该代数系统的幺元；
B选项中不存在幺元；
C选项中幺元为n阶单位矩阵。
12.二元运算×有两个左零元，则该运算一定是（）
A.不满足交换律
B.满足交换律
C.不满足结合律
D.满足结合律
解析：本题为有一定难度的理解题，考察零元的定义。
设两个左零元分别为el1和el2，则el1×el2=el1，el2×el1=el2。如果满足交换律，则有el1×el2=el2×el1=el2，说明el1=el2，即只有一个左零元，与假设矛盾，因此该运算不满足交换律。
13.下列集合和运算构成的代数系统是否满足交换律、结合律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元。①有理数集合Q，x×y=(x+y)/2；②自然数集合N，x×y=2^(xy)；③正整数集合Z+，x×y=gcd(x,y)；④实数集合R，x×y=|x-y|；⑤整数集合Z，x×y=x+y+xy。
解析：本题为简单的综合题，综合考察交换律和结合律，以及幺元、零元和逆元的定义。
①中的运算满足交换律，但是不满足结合律，幺元不存在，零元不存在，不存在可逆元；
②中的运算满足交换律，不满足结合律，幺元不存在，零元不存在，可逆元不存在；
③中的运算满足交换律和结合律，幺元不存在，零元为1，不存在可逆元；
④中的运算满足交换律，不满足结合律，幺元不存在，零元不存在，可逆元不存在；
⑤中的运算满足交换律和结合律，幺元为0，零元为-1，可逆元计算得为-x/(1+x)=-1+1/(1+x),由于是整数，所以x取取指只能是0或-2，得到的可逆元为0或-2，0的逆元为0，-2的逆元为-2。