矩阵QR分解

1、Schmidt正交QR分解：

步骤：1、写出矩阵的列向量；2、schmidt正交化；3、得到QR分解结果；

Schmidt正交化公式： $\large \beta_i = \alpha_i - \sum_{j=1}^{i-1} {\frac{(\alpha_i,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}}*\beta_j$

例子：1：

$A=\begin{bmatrix} 1 &2 &2 \\ 2& 1 & 2\\ 1&2 &1 \end{bmatrix}$ ，列向量 $\large \alpha_1 = (1,2,1)^T, \alpha_2 = (2,1,2)^T, \alpha_3 = (2,2,1)^T,$

正交得

$\large \beta _1 = \alpha_1 = (1,2,1)^T$ ,

$\large \beta _2 = \alpha_2 - \beta _1\frac{(\alpha_2,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)} = \alpha_2 - \beta _1 =(1,-1,1)^T$ ,

$\large \beta _3 = \alpha_3 - \beta _1\frac{(\alpha_3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}$ $\large - \beta _2\frac{(\alpha_3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}=\alpha_3 - \frac{7}{6}\beta _1\ - \frac{1}{3}\beta _2 = (\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})^T$

构造矩阵， $\large \beta_1,\beta_2,\beta_3$ 标准化的

Q =[ $\large \beta_1,\beta_2,\beta_3$ ]标准化的,R = 对角标准化参数*计算参数

$\large Q=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ , $\large \dpi{120} \large R=\begin{bmatrix} \sqrt{6} &0 & 0\\ \0 & \sqrt{3} & 0 \\ \0& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{7}{6}\\ 0& 1 & \frac{1}{3} \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}$

A= Q*R

参考，矩阵QR分解的三种方法李建东

原文链接：https://blog.csdn.net/ziyue246/article/details/88967324

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