第三节协整理论——时间序列模型的协整关系
一、问题来源
来源：伪回归(虚假回归)现象
MC(蒙特卡罗)的模拟结果发现：
利用2个相互独立的非平稳序列、或者2个都包含时间趋势但彼此无关的序列，可能建立显著的回归模型；称这种现象为“伪回归”现象，所建立的模型是伪回归模型。
伪回归现象意味着传统统计检验方法失去意义，需要重新讨论对非平稳序列能否直接建立回归模型的问题。
二、平稳性
(一)平稳时间序列
定义：
(序列的相关性只与间隔有关，与时刻无关)
推论： = 常数
图形特征：(1)在均值周围波动，频繁穿越均值；
(2)波动幅度大致相同；
图1 日元兑美元差分序列 图2上证综指收益率
平稳时间序列的含义：
任何外来冲击(或振动)对序列变动轨迹的影响是短暂的，t时刻的振动影响在t+1期会减弱，t+2期会更弱，随着时间推移这种影响会逐渐消失，序列将恢复到其平均水平(称外来冲击影响具有“短记忆”特征)。
但是，对于非平稳时间序列，振动的影响会无限地持续下去，t时刻的振动影响不会在以后的时期中衰减，所以序列也难以恢复到一个稳定状态，外来冲击影响有长记忆性。
(二)常见平稳序列
1．白噪声过程(white noise)
记成：yt ( i.i.d (0, (2)
古典回归模型中的随机误差项即为白噪声序列。
2．自回归过程(Auto regression—AR过程)
,εt ( i.i.d (0, (2)
(三)常见非平稳序列
1．趋势平稳过程(trend stationary)
(又称为：退势平稳过程，确定趋势过程)。
yt =α + βt + εt , εt ( i.i.d(0, (2)
性质：
(1)E(yt)=α + βt， D(yt) = (2 , COV(yt，yt-s) = 0
(2)图形：围绕趋势线等幅波动，外来冲击影响短暂；
(3)可以扩展成带趋势的AR过程：
特点：
由于存在长期趋势使得均值不是常数，所以是非平稳序列；但是序列始终围绕着趋势线波动，外来冲击是短记忆的，所以又具备平稳序列的特征。
2．随机游走过程(random walk)和单位根过程(unit root)
定义：随机游走过程：yt = yt-1 + εt , εt ( i.i.d (0, (2)
单位根过程：yt = yt-1 + εt , εt (平稳过程
性质：(1)外来冲击影响有长记忆性，难以回到稳定状态。
(2)一阶差分为平稳过程(即增幅是平稳的)。
3．带飘移项的随机游走过程 / 单位根过程(随机趋势过程)
yt =α+ yt-1 + εt
4．带飘移项、趋势项的随机游走过程 / 单位根过程
yt =α+βt + yt-1 + εt
上述非平稳过程有2个特征：
经过差分或/和退势处理后，可以转化为平稳过程；
趋势平稳过程不存在单位根，其余的都存在单位根。
三、单整性
1．定义：若非平稳序列yt经过d阶差分后成为平稳序列，则称其为d阶单整序列，记成：yt ~ I(d)；特别的，平稳序列记成I(0)。
2．性质
(1)若，则
(2)若，则
(3)若，则
(4)若，则
(非同阶单整序列的线性组合服从高阶单整)
(5)若，则
(同阶单整序列的线性组合可能会降阶)
3．单整性检验——单位根检验(DF/ADF检验)
检验模型：等价检验模型：
(1)
(2)
(3)
，，
原假设：单位根过程，备选假设：平稳(或趋势平稳)过程。即：
当检验统计量的伴随概率时，是单位根过程，时，是平稳(或趋势平稳)过程。
说明：
(1)单位根检验过程通常按照模型3—>2—>1的顺序进行检验，直到平稳(即拒绝存在单位根假设)时停止。这个检验顺序容易犯第Ⅱ类错误(取伪)，即误认为存在单位根(非平稳)，所以在时，还要由模型2、1进一步判断是否是平稳过程，以免错误接受假设。
总之，平稳的结论容易接受，非平稳的结论要慎重。
(2)利用模型3检验时，如果则拒绝存在单位根的原假设，但并不意味着序列是平稳过程，实际上此时是趋势平稳过程，还需要经过一阶差分才是平稳序列。
(3)当序列是AR(p)或误差项ε存在自相关性时，此时采用ADF检验(扩展的DF检验)：
ADF检验要确定适当的滞后阶数，可以用AIC和SC准则来确定。
四、协整性
1.定义：
设时间序列，都是d阶单整序列，且存在非零向量，使得，，则称变量之间存在阶数为(d，b)的协整关系，简称xi之间的关系是协整的，记成xi~CI(d，b)。其中，α称为协整向量,xi的线性组合称为协整方程。
2.协整关系的含义
协整关系中，我们最感兴趣的是CI(d，d)CI(1，1)，而。
协整关系的统计含义：若干个非